Continuidad

Cap´ ıtulo 4
Funciones Continuas
Considere una funci´n real f definida en un subconjunto no vac´ A de la recta o ıo real. ´
DEFINICION 4.1 La funci´n f es continua en un punto x0 ∈ A si satisface la condici´n o o

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ A : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.

(4.1)

Si f no es continua en x0 ∈ A, diremos que f es discontinua en x0 . Por otro lado, f es continua en un conjunto S ⊂ A si lo es en cada elemento de S .
La definici´n de continuidad de f en x0 establece una propiedad local de la funci´n o o f con respecto al punto x0 . La propiedad en cuesti´n es que los valores (im´genes) f (x) o a de la funci´n est´n arbitrariamente cercanos del valor f (x0 ) (esto es expresado por la o a condici´n |f (x) − f (x0 )| < ε, con ε > 0 arbitrario), siempre que los puntos x sean o tomados en el dominio de f y suficientemente cercanos de x0 , lo cual es caracterizado por las condiciones x ∈ A y |x − x0 | < δ donde δ > 0 es un n´ mero que depende de u ε en general. El car´cter local que mencionamos arriba significa que la propiedad de a continuidad en x0 depende de otros puntos adem´s del x0 , espec´ a ıficamente depende de puntos x cercanos a x0 .
La siguiente caracterizaci´n de continuidad es sumamente util y ser´ empleada o ´ a repetidamente en la demostraci´n de diversas propiedades relacionadas con la continuio dad; adem´s establece una relaci´n entre continuidad y convergencia de sucesiones de a o n´ meros reales. u TEOREMA 4.1 La funci´n f : A ⊂ R → R es continua en x0 ∈ A si y s´lo si para toda o o sucesi´n (xn ) con t´rminos en A y con l´ o e ımite x0 , se tiene f (xn ) → f (x0 ) cuando n → ∞.
Demostraci´n. Suponga que f es continua en x0 ∈ A y sea (xn ) cualquier sucesi´n de o o elementos de A con xn → x0 . Sea ε > 0 arbitrario. Por (4.1) existe δ > 0 tal que x ∈ A ∧ |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
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(4.2)

CAP´
ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS

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Por otro lado, la