Conjuntos numéricos - resumo

CONJUNTOS NUMÉRICOS
NOTAÇÕES BÁSICAS a, b, ...

: Variáveis e parâmetros

A, B, ...

: Conjuntos

∈

: Pertence

∉

: Não pertence

⊂

: Está contido

⊄

: Não está contido

⊃

: Contém

⊃

: Não contém

∃

: Existe

∃

: Não existe

∃|

: Existe apenas um / existe um único

|

: Tal que

∀

: Todo, qualquer

⇒

: Implica (se então)

⇔

: Equivale (se e somente se)

∪

: União de conjuntos

∩

: Intersecção de conjuntos

∅

: Conjunto vazio

∨

: ou

∧

:e

~

: Negação

>

: Maior que

<

: Menor que

≥

: Maior ou igual a

≤

: Menor ou igual a

Propriedades das desigualdades:
a) Se a > b, b > c ⇒ a > c

Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2

b) Seja a > b :
•

Se c >0 ⇒ a . c > b . c

Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2

•

Se c < 0 ⇒ a . c < b . c

Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2

c) a > b ⇒ a + c > b +c , ∀ c ∈ R
d) a > b , c > d ⇒ a + c > b + d

Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4

e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⇒ a . c > b. d
Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem, independentemente do sentido.

 a , se a ≥ 0 a =
− a , se a < 0
Propriedades do Valor Absoluto
•

a ≥0

•

a2 = a

•

e

a =0

⇔

a=0

2

a2 = a

• a < b, b > 0 ⇔ - b < a < b
•  a > b, b > 0 ⇔ a > b ou a < -b

ou

• | a | = b, b > 0 ⇔ a = b ou a = -b
• Se a, b ∈ R ⇒ | a . b | = | a | . | b |
• Se a, b ∈ R , b ≠ 0 ⇒

a a = b b

• Se a, b ∈ R ⇒ | a + b | ≤ | a | + | b |

(Desigualdade Triangular)

• Se a, b ∈ R ⇒ | a | - | b | ≤ | a - b | ≤ | a | + | b |
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Introdução
Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais.
Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas.

O conjunto dos números naturais – símbolo N – é formado pelos números 0,1,2,...
N = { 0,1,2,3,...}.
O conjunto dos números inteiros –