Conicas 2 Reginaldo A4

Se¸co˜es Cˆonicas
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi [e-mail]
11 de dezembro de 2001
Estudaremos as (se¸co
˜es) cˆ onicas, curvas planas que s˜ao obtidas da interse¸ca˜o de um cone circular com um plano. Vamos estudar a elipse, a hip´erbole e a par´abola, que s˜ao chamadas de cˆ onicas n˜ ao degeneradas. Vamos defini-las em termos de lugares geom´etricos. As outras cˆonicas, que incluem um u
´nico ponto, um par de retas, s˜ao chamadas cˆ onicas degeneradas.

1
1.1

Cˆ onicas N˜ ao Degeneradas
Elipse

Defini¸c˜ ao 1.1. Uma elipse ´e o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que a soma das distˆancias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) ´e constante, ou seja, se dist(F1 , F2 ) = 2c, ent˜ao a elipse ´e o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 2a,

Proposi¸c˜ ao 1.1.

em que b =

em que a > c.

(a) A equa¸ca˜o de uma elipse cujos focos s˜ao F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) ´e

√

x2 y 2
+ 2 = 1, a2 b

(1)

a2 − c 2 .

(b) A equa¸ca˜o de uma elipse cujos focos s˜ao F1 = (0, −c) e F2 = (0, c) ´e

em que b =

√

x2 y 2
+ 2 = 1, b2 a

a2 − c 2 .

1

(2)

y

y
A2
F2

B2

A1

B1

A2
F1

F2

B2

x

x

B1
A1 = (−a, 0)
B1 = (−b, 0)
F1 = (−c, 0)

A2 = (a, 0)
B2 = (b, 0)
F2 = (c, 0)

A1 = (0, −a)
B1 = (−b, 0)
F1 = (0, −c)

Figura 1: Elipse com focos nos pontos F1 =
(−c, 0) e F2 = (c, 0)

F1
A1

A2 = (0, a)
B2 = (b, 0)
F2 = (0, c)

Figura 2: Elipse com focos nos pontos F1 =
(0, −c) e F2 = (0, c)

Demonstra¸ ca ˜o. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exerc´ıcio, a demonstra¸ca˜o da segunda parte. A elipse ´e o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 2a , ou seja, que neste caso ´e

−→

−→

|| P F1 || + || P F1 || = 2a,
(x + c)2 + y 2 +

(x − c)2 + y 2 = 2a

ou

(x + c)2 + y 2 = 2a −

Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos

(x − c)2 + y 2 .

a (x − c)2 + y 2 = a2 − cx .
Elevando novamente ao