COmplexods

Anota¸˜es sobre n´meros complexos. co u
Rodrigo Carlos Silva de Lima

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Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff[e-mail] ‡

1

Sum´rio a 1 N´ meros complexos u 1.1

3
3

1.1.1
1.2

N´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 5

Forma alg´brica de um n´mero complexo . . . . . . . . . . . . . . . e u

Conjugado e valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 z 1.2.1 Condi¸˜es para que co seja real ou imagin´rio puro . . . . . . . . . 14 a w
1.2.2 Conjugado de um n´mero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 u 1.2.3

Valor absoluto-m´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o 1.2.4

Uso de conjugado na divis˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 a 1.2.5

Conjugado e valor absoluto da divis˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 23 a 1.2.6

Desigualdade de Cauchy Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.7

Distˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 a 1.3

Plano de Argand-Gauss e forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4

Ra´ ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2

Cap´ ıtulo 1
N´ meros complexos u 1.1

N´ meros complexos u Defini¸˜o 1 (Conjunto dos n´meros complexos). Definimos a estrutura dos n´meros ca u u complexos, como o conjunto1
C = {(x, y) x, y ∈ R} munido de duas opera¸˜es, uma adi¸˜o definida como co ca z + w = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 ) z w

e uma multiplica¸˜o, definida como ca z.w = (x1 .x2 − y1 .y2 , x1 .y2 + y1 .x2 ).
Denotamos (1, 0) = 1 e (0, 0) = 0. Para z = (x1 , y1 ) definimos
−z = (−x1 , −y1 ) e z

−1

1
= = z (

)
−y1
x1
,
.
2
2 x2 + y1 x2 + y1
1
1

Denotamos tal estrutura como (C, +×) ou apenas C.
1

Perceba que ´ feita associa¸˜o de C com o plano R2 . e ca

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