Circuitos

´ XI ENCONTRO DE MATEMATICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

´ Algebra Linear e Teoria de Circuitos

Val´rio Badarau e Eduardo S. Goes Leandro e [e-mail] 20/setembro/2008

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Conte´ do u
´ 1 Preliminares de Algebra Linear 1.1 Espa¸os Vetoriais e seus Duais . . . . . . c 1.2 Bases e Bases Duais . . . . . . . . . . . 1.3 Espa¸o Quociente . . . . . . . . . . . . . c 1.4 Rela¸˜es entre o Anulador e o Quociente co 1.5 Transforma¸˜es Adjuntas . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 6 9 10

2 Introdu¸˜o ` Teoria de Circuitos ca a 14 2.1 Cadeias e o Operador ∂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Cocadeias e o Operador d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Os Teoremas de Kirchhoff 20

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1.1

´ Preliminares de Algebra Linear
Espa¸os Vetoriais e seus Duais c

´ O conceito fundamental em Algebra Linear ´ o de espa¸o vetorial. e c Defini¸˜o 1.1. Um espa¸o vetorial sobre um corpo K ´ um conjunto V no qual ca c e est˜o definidas duas opera¸˜es: a co +: V ×V (u, v) −→ V → u+v e · : K ×V (c, v) −→ V → c·v

denominadas adi¸˜o e multiplica¸˜o por escalares, respectivamente. ca ca A adi¸˜o e a multiplica¸˜o por escalares satisfazem as seguintes propriedades: ca ca (A1) (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V . (Associatividade) (A2) u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V . (Comutatividade) (A3) ∃O ∈ V tal que v + O = O + v = v. (Existˆncia do Elemento Neutro) e (A4) ∀v ∈ V , ∃u ∈ V tal que v + u = u + v = O. Este u ´ denominado inverso e aditivo de v e ´ denotado por −v. e (M1) Se 1 ´ o elemento neutro multiplicativo em K ent˜o, ∀v ∈ V , 1 · v = v. e a (M2) Se b, c ∈ K, ∀v ∈ V , temos (bc) · v = b · (c · v). (Associatividade) (M3) ∀b, c ∈ K, ∀u, v ∈ V temos c·(u+v) = c·u+c·v, e tamb´m (b+c)·v = b·u+c·v. e (Ditributividades) No restante destas notas assumiremos que K = R.