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Funda¸˜o Centro de Ciˆncias e Educa¸˜o Superior a Distˆncia do Estado do Rio de Janeiro ca e ca a
Centro de Educa¸˜o Superior a Distˆncia do Estado do Rio de Janeiro ca a

AP1 Completa – M´todos Estatisticos II – 1/2014 e Quest˜o 1 [2,5 pts] Considere uma vari´vel aleat´ria X com distribui¸˜o uniforme no intera a o ca valo [15, 35].
(a) Esboce o gr´fico da fun¸˜o de densidade de X. a ca
(b) Obtenha a express˜o da fun¸˜o de densidade de X. a ca
(c) Calcule P(X > 23).
(d) Calcule P(X ≤ 31|X > 23).
(e) Calcule o valor k tal que P(X ≥ k) = 0, 2.
Solu¸˜o
ca
(a) Veja o gr´fico na Figura 1. a Figura 1: Fun¸˜o de densidade – Quest˜o 1 ca a
(b) f (x) =

0, 05x se 15 ≤ x ≤ 35
0
caso contr´rio a (c) P(X > 23) =

35 − 23
= 0, 6
20

(d) P(X ≤ 31|X > 23) =
(e) P (X ≥ k) = 0, 2 ⇒

P(23 < X ≤ 31)
31 − 23
=
= 0, 6667
P(X > 23)
35 − 23

35 − k
= 0, 2 =⇒ k = 31
20

Quest˜o 2 [2,0 pts] Na Figura 2 ´ dado o gr´fico de uma fun¸˜o f (x). a e a ca
(a) Mostre que f (x) ´ a fun¸˜o de densidade fX de alguma vari´vel aleat´ria cont´ e ca a o ınua X.
(b) Mostre que a express˜o de fx ´ a e
(c) Calcule P(X ≥ 1, 5).
(d) Calcule P(0, 5 < X ≤ 1, 5).

f (x) =

1 − 0, 5x se 0 ≤ x ≤ 2
0
caso contr´rio a Figura 2: Fun¸˜o de densidade para a Quest˜o 2 ca a
Solu¸˜o
ca
(a) f (x) ≥ 0 e a ´rea sob a curva ´ a e

1
·2·1=1
2

(b) O gr´fico de fX ´ um segmento de reta determinado pelos pontos (0, 1) e (2, 0). Logo, a e f (x) = 1 + bx e f (2) = 0 ⇒ 0 = 1 + 2b ⇒ b = −0, 5, o que mostra que a express˜o dada a est´ correta. a (c) Veja a Figura 3. A probabilidade pedida ´ a ´rea de um triˆngulo de base 0, 5 e altura e a a f (1, 5) = 1 − 0, 5 × 1, 5 = 0, 25. Logo,
P(X ≥ 1, 5) = 0, 5 × 0, 5 × 0, 25 = 0, 0625
(d) A probabilidade pedida ´ a ´rea do trap´zio sombreado na Figura 4. Logo, e a e P(0, 5 < X ≤ 1, 5) =

f (0, 5) + f (1, 5)
1
× (1, 5 − 0, 5) = × (1 − 0, 5 × 0, 5 + 1 − 0, 5 × 1, 5) = 0, 5
2
2