Cap tulo 2 A Arit tica dos N meros Reais

2. A ARITMÉTICA DOS NÚMEROS REAIS
2.1.

Operações

Inicialmente relembremos as principais propriedades da adição e multiplicação em R. Essas propriedades serão admitidas, por simplicidade, como postulados (afirmações consideradas verdadeiras sem demonstração) embora algumas delas possam ser demonstradas a partir das restantes. Propriedades da adição
A1 – Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma

ab ba
A2 - Associativa: as parcelas de uma adição podem ser agrupadas de uma maneira qualquer, sem que se altere o resultado.

a  b   c  a  b  c 
A3 – Elemento neutro: O zero é neutro para a adição

a0 a
A4 – Elemento Oposto: Para cada número real a, existe em correspondência um único número real chamado oposto de a e designado por –a, tal que a   a   0

A5 – Lei do cancelamento:
Se a  b  a  c , então, b  c
Propriedades da Multiplicação
M1 – Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto

ab  ba
M2 – Associativa: os fatores de um produto podem ser agrupados de uma maneira qualquer, sem que se altere o resultado.

a  b   c  a  b  c 
M3 – Elemento Neutro: o número um é neutro para a multiplicação

a 1  a
M4 – Lei do Cancelamento:

Se a  b  a  c e a  0 , então, b  c
M5 – Lei do Anulamento do produto: Se o produto de dois inteiros é nulo, então um dos fatores é nulo.

a  b  0  a  0 ou b  0
M6 - Elemento Inverso: para cada número real a  0 , existe em correspondência um único
1
real chamado inverso de a e designado por a 1 ou , tal que a a  a 1  a 1  a  1

D – Distributiva: Para multiplicar um número real por uma soma, basta multiplicar cada parcela por esse número e depois somar os resultados parciais. a  b  c   a  b  a  c

Subtração e divisão
A subtração e a divisão em R podem ser definidas em função da adição e da multiplicação.
Definimos a diferença a menos b como sendo a soma de a com o oposto de b: a  b  a   b 

Analogamente, definimos o quociente de a por b, onde b  0 , como sendo o