Caldeiras escocesas

SOLUÇÃO TERCEIRA PROVA PME - 2341 29/06/10
Prof. Francisco E. B. Nigro Prof. Demétrio C. Zachariades

1a Questão:
a) Denominando por y(t) o deslocamento vertical para cima do centro de massa do perfil, medido a partir de sua posição de equilíbrio, e θ(t) o ângulo de inclinação do perfil no sentido anti-horário, medido a partir da posição de equilíbrio, aplica-se o TMB e se obtém:  Tomando o TMA em torno de um eixo pelo centro de massa obtém-se:

Portanto, o sistema de equações diferenciais fica:

b) Sendo e  o sistema de equações diferenciais se torna:

Buscando soluções do tipo:

, derivando e substituindo no sistema de equações, obtém-se

, onde 

Os autovalores são obtidos impondo-se que o determinante da matriz de coeficientes do sistema de equações lineares em Y e Θ seja 0, para que o sistema possa ter solução diferente da trivial. Assim:  , cujas raízes são
 e . Portanto as freqüências naturais correspondentes ficam:

 e 
Os autovetores correspondentes, obtidos da substituição dos autovalores na equação de amplitudes, fornecem os modos fundamentais de vibrar do sistema.
O primeiro modo fica: , ou ainda 
O segundo modo fica: , ou  2a Questão:
a) Após a parada do carro a coluna pode se deslocar no plano da figura. Uma vez que são fornecidas as características de elasticidade do cabo de aço, considera-se a possibilidade de deformação do cabo, configurando os três graus de liberdade do sistema. Chamando de x(t) o deslocamento horizontal para a direita do centro de massa da coluna, y(t) seu deslocamento vertical para cima e θ(t) o ângulo de inclinação da coluna no sentido anti-horário, todas coordenadas medidas a partir da posição de equilíbrio, pode-se representar o sistema em sua configuração mais geral, conforme representado na figura. Supondo pequenas amplitudes de oscilação e observando a simetria do sistema, nota-se que o modo de vibração vertical da coluna independe das