Calculo1 Aula01

Aula 1
Velocidade instant^ anea e derivadas
1.1

Velocidade instant^ anea Um ponto m¶ovel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um ponto O.

O s=0 ∆s

M s = s(t)

s 0 = s(t 0)

s1 = s(t 0+ ∆t)

s

O deslocamento s, de M , em rela»c~ao ao ponto O, ¶e a dist^ancia de O a M , se M est¶a µa direita de O, e ¶e o negativo dessa dist^ancia se M est¶a µa esquerda de O. Assim, s ¶e positivo ou negativo, conforme M se encontre, respectivamente, µa direita ou µa esquerda de O.
Com estas conven»c~oes, a reta passa a ser orientada, o que chamamos de eixo, sendo O sua origem.
O deslocamento s depende do instante de tempo t, ou seja, s ¶e uma fun»c~ao da vari¶avel t: s = s(t)
Em um determinado instante t0 , o deslocamento de M ¶e s0 = s(t0 ). Em um instante posterior t1 , o deslocamento de M ¶e s1 = s(t1 ).
A velocidade m¶edia do ponto M , no intervalo de tempo [t0 ; t1 ] ¶e dada por vm =

s1 ¡ s0 s(t1 ) ¡ s(t0 )
=
t1 ¡ t0 t1 ¡ t0

Podemos tamb¶em escrever t1 = t0 + ¢t, ou seja, ¢t = t1 ¡ t0 , e tamb¶em
¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 ).
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^nea e derivadas
Velocidade instanta
Teremos ent~ao vm =

¢s s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 )
=
¢t
¢t

Por exemplo, vamos supor que s(t) = 12 at2 (ponto m¶ovel uniformemente acelerado). Assim, no instante t = 0 o ponto m¶ovel est¶a em s(0) = 12 a ¢ 02 = 0.
A partir de um certo instante t0 , temos uma varia»c~ao de tempo ¢t. Seja t1 = t0 + ¢t. Podemos ter ¢t > 0 ou ¢t < 0 (quando ¢t < 0, t1 antecede t0 ). Teremos ent~ao ¢
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1 ¡ s(t1 ) = s(t0 + ¢t) = a(t0 + ¢t)2 = ¢ at20 + 2at0 ¢t + a(¢t)2
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A varia»c~ao do deslocamento do ponto m¶ovel, nesse intervalo de tempo, ser¶a
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¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = at20 + at0 ¢t + a(¢t)2 ¡ at20
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ou seja,
¢s = at0 ¢t +

a(¢t)2
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A velocidade m¶edia do ponto, no intervalo de tempo [t0 ; t1 ], ser¶a dada por
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at0 ¢t + a(¢t) a¢t ¢s
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=
= at0 +
¢t
¢t
2
Se ¢t ¼ 0, ent~ao tamb¶em teremos ¢s = at0 ¢t +

a(¢t)2
2

¼ 0. No entanto,

a¢t
¢s
= at0 +
¼ at0
¢t
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De um modo geral, de¯nimos a