Calculo numerico

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ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
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Cálculo Numérico – 212
Prof. Dr. Armando F. Silva Moreira
Tópico 3 – Interpolação Polinomial

Exemplo 01:
Dada a tabela de dados experimentais abaixo, calcular o valor de y(2.5) usando interpolação linear e quadrática. x | y(x) | 1 | 2.0 | 2 | 3.4 | 3 | 7.8 | 4 | 10.4 |

Interpolação linear: y(x) = ax + b
3.4 = a(2) + b 2a + b = 3.4
7.8 = a(3) + b 3a + b = 7.8
Especificação das matrizes: M | 2 | 1 | | 3 | 1 | | | | M-1 | -1 | 1 | | 3 | -2 |

A | 3,4 | | 7,8 |

Solução: x = (M-1)*A x | 4,4 | | -5,4 |

Verificação dos resultados encontrados: y = 4.4*2 -(5.4) y = 3.4

y = 4.4*3 -(5.4) y = 7.8

Cálculo do valor desejado (y(2.5)): y = 4.4*2.5 -(5.4) y = 5.6

Interpolação quadrática: y(x) = ax2 + bx + c
Usando os pontos x = 1, 2 e 3:
2.0 = a(1)2 + b(1) + c a + b + c = 2.0
3.4 = a(2)2 + b(2) + c 4a + 2b + c = 3.4
7.8 = a(3)2 + b(3) + c 9a + 3b + c = 7.8 | 1 | 1 | 1 | M | 4 | 2 | 1 | | 9 | 3 | 1 |

| 0,5 | -1,0 | 0,5 | invM | -2,5 | 4,0 | -1,5 | | 3,0 | -3,0 | 1,0 |

| 2,0 | A | 3,4 | | 7,8 |

x = invM*A | 1,5 | | -3,1 | | 3,6 |

Ou seja: a = 1.5 / b = -3.1 / c = 3.6 (Parábola 1)
Verificação dos resultados: y = 1.5*(1^2) + (-3.1)*1 + 3.6 y = 2.0

y = 1.5*(2^2) + (-3.1)*2 + 3.6 y = 3.4 y = 1.5*(3^2) + (-3.1)*3 + 3.6 y = 7.8

Cálculo do valor desejado (y(2.5): y = 1.5*(2.5^2) + (-3.1)*(2.5) + 3.6 y = 5.225

Usando os pontos x = 2, 3 e 4:
3.4 = a(2)2 + b(2) + c 4a + 2b + c = 3.4
7.8 = a(3)2 + b(3) + c 9a + 3b + c = 7.8 10.4 = a(4)2 + b(4) + c 16a + 4b + c = 10.4

| 4 | 2 | 1 | M | 9 | 3 | 1 | | 16 | 4 | 1 | | | | | | 0,5 | -1,0 | 0,5 | invM | -3,5 |