calculo diferencial geometrico Rn

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CALCULO
DIFERENCIAL
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GEOMETRICO
NO Rn
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Elvia
Mureb Sallum
Lucia Satie Ikemoto Murakami
Juaci Picanc¸o da Silva

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INSTITUTO DE MATEMATICA
E ESTATISTICA
˜ PAULO
UNIVERSIDADE DE SAO

˜ PAULO
UNIVERSIDADE DE SAO
REITORA: Profa. Dra. Suely Vilela

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INSTITUTO DE MATEMATICA
E ESTATISTICA
DIRETOR: Prof. Dr. Paulo Domingos Cordaro
VICE-DIRETOR: Prof. Dr. Flavio Ulhoa Coelho

˜ DE POS-GRADUAC
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˜
COMISSAO
¸ AO
PRESIDENTE: Prof. Dr. Eduardo do Nascimento Marcos

ˆ
ENDEREC
¸ O PARA CORRESPONDENCIA:
Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica
Universidade de S˜ao Paulo
Rua do Mat˜ao, 1010
Cidade Universit´aria, S˜ao Paulo, SP
05508-090

C´alculo Diferencial Geom´etrico no Rn

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Elvia
Mureb Sallum
Lucia Satie Ikemoto Murakami
Juaci Picanc¸o da Silva

IME-USP
2009

Introduc¸a˜ o

O conte´udo desta apostila corresponde a` s notas de aula de parte do curso de
“C´alculo Avanc¸ado”, pertencente ao programa de p´os-graduac¸a˜ o do IME-USP, ministrado pela primeira autora em 1993. Este material foi usado pela primeira vez no
“XVII Cursos de Ver˜ao”, em 1998, na disciplina “C´alculo Diferencial Geom´etrico no Rn ”. A primeira vers˜ao desta apostila tamb´em foi utilizada no ver˜ao seguinte pelo professor Luiz Augusto Fernandes de Oliveira, a quem agradecemos pelas sugest˜oes que resultaram na vers˜ao atual. O objetivo destas notas e´ servir como um roteiro para o estudo do C´alculo Diferencial e apresentar diversas aplicac¸o˜ es, sobretudo nos exerc´ıcios propostos ao final do texto.
Este trabalho foi parcialmente financiado pela FAPESP e CAPES.
S˜ao Paulo, dezembro de 1999.

As observac¸o˜ es de alunos e monitores da disciplina correspondente, em v´arios
Cursos de Ver˜ao do IME-USP, e do professor Fabiano Gustavo Braga Brito permitiram que edit´assemos esta segunda vers˜ao com algumas melhorias e v´arias correc¸o˜ es. A eles, o nosso agradecimento.
S˜ao Paulo, fevereiro de 2009.

5

Sum´ario
Introduc¸a˜ o

5

Cap´ıtulo 1.

Topologia do Rn

1

Cap´ıtulo 2.

Func¸o˜ es