Boa viagem pra quem

Séries de Fourier
Matemática Aplicada
Carlos Luz
Revisto em 2004/2005

Conteúdo
1 Séries de Fourier
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Séries trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Séries de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Definição de série trigonométrica . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Cálculo dos coeficientes de uma série trigonométrica uniformemente convergente . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Convergência das séries de Fourier . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Série de Fourier de uma função de período T . . . . . .
1.3.4 Séries de Fourier de funções importantes nas aplicações
1.4 Aplicações das séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Aplicação à resolução de equações diferenciais . . . . .
1.4.2 Aproximação de uma função por um polinómio trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Séries de Fourier

1.1

Introdução

As séries de Fourier são séries cujos termos são funções sinusoidais. A sua importância prática deve-se a que uma função periódica (verificando condições bastante gerais) pode ser representada por uma série de Fourier e, sobretudo, ao facto de ser possível obter facilmente em computador excelentes aproximações daquela série.
Historicamente, contudo, o aparecimento das séries de Fourier deveu-se, numa primeira fase, aos estudos realizados por Bernoulli1 por volta de 1750 sobre a resolução da equação diferencial às derivadas parciais que regula o fenómeno da vibração de uma corda flexível. Foi porém Fourier2 , 50 anos mais tarde, que ao estudar outra equação diferencial às derivadas parciais–a equação do calor (ver, para referências históricas, [3] e [9])–revelou