Baricentro Introdu O Com Exerc Cios Resolvidos

Baricentro

O momento (ML) de uma área plana em relação a um eixo L é o produto da área A pela distância de seu centro de gravidade ao eixo. O momento de uma área composta em relação a um eixo é a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao eixo.
Para determinarmos o momento de uma área plana em relação a um eixo coordenado é útil fazer um esboço da área em questão. Assim podemos utilizar o conceito do retângulo elementar, que tem largura infinitesimal. Formamos, então, o produto da área do retângulo pela distância do seu centro de gravidade ao eixo. Em seguida, fazemos a soma para todos os retângulos, aplicando a integral definida.
Para uma área plana A, tendo seu centro de gravidade em e momentos denotados por Mx e My em relação aos eixos dos x e y serão dados por:

Exemplo 1: Para exemplificar e nos acostumar com o método, vamos determinar os momentos e as coordenadas do centro de gravidade da figura abaixo.

Com a geometria desta figura é simples, podemos dividi-las em vários retângulos, cujos centros de gravidade são denotados por: A, B. C e D.
Vejam que o retângulo superior (A) tem uma área A igual a 10 unidades de área (u.a.):

E o centro de gravidade será:

Vejam que a coordenada x é exatamente a metade do comprimento do retângulo e a coordenada y é a metade de sua altura. Mas para a altura, fazemos:

Para o retângulo (B), temos que:

Para o retângulo (C), temos que:

E para o retângulo (D), temos:

A área total da figura é:

Podemos agora calcular os momentos dos retângulos em relação ao eixo dos x, fazendo o produto entre a área e a distância ao eixo dos x:

Assim, o momento da área da figura em relação ao eixo dos x é a soma dos momentos dos retângulos individuais:

E analogamente, o momento da área da figura em relação ao eixo dos y é:

Logo, temos que:

Assim, o ponto de coordenadas igual a (67/34 ; 5) é o centro de gravidade da figura.
Exemplo 2: Achar os momentos em relação aos eixos coordenados da área plana limitada no 2º