bacharel

Aplicação física envolvendo EDO’s

Aluno: Lucas Almeida de Figueiredo

Sobre a condução do calor: Um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente onde está posto, se aceita três hipóteses básicas:

1. A temperatura T=T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo.

2. A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência.

3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o maio ambiente.

Montagem da EDO: Assumiremos verdadeiras as hipóteses acima, observando que:

dT/dt = -k(T-Tm)

Onde T=T(t) é a temperatura do corpo no instante t, ‘Tm’ é a temperatura constante do meio ambiente, (T-Tm) é a diferença de temperatura, e ‘k’ é uma constante que depende do material com que o corpo foi construído, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Resolução da EDO: Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em:

dT/(T-Tm) = -k dt

Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos: Ln(T-Tm) = -kt + ko

Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, teremos: T(t)-Tm = C exp(-kt)

logo, a solução da EDO será: T(t) = Tm + C exp(-kt)

Quando temos a temperatura inicial do corpo é T(0)=To, então podemos obter a constante C que aparece na solução, pois:

To = Tm + C

assim: