Aula4 Schrodinger

Aula 4 - Soluções da Equação de Schrödinger

Tópicos
• Elétron Livre
• Elétron em um poço potencial infinito
• Elétron diante de uma barreira de potencial
• Elétron em um potencial periódico

Referências
• Rezende 3.3,3.4,4.1

c 2003 Alexandre Romariz, Universidade de Brasília

1

Elétron Livre
Introdução
• Revela o caráter ondulatório do elétron
• Revela a concordância entre Schrödinger e De Broglie

Solução Particular
•V ≡0
• Equação se torna

d 2ψ
+ Eψ = 0
2m dx2 ψ(x) = A exp[ j(kx − ωt)]
2

• Onda plana viajante (direção +x)
• Vetor de onda k =

√
2mE

• Normalização
A=0

• Freqüência angular ω = E
• Velocidade de fase v f =

R

|Ψ|2 dr = 1 exige

• Partícula totalmente não-localizada
(distribuída em todo o espaço)

w k → Não é a velocidade da partícula! c 2003 Alexandre Romariz, Universidade de Brasília

2

Pacote de onda

• Capaz de representar um pulso de extensão definida
• Cada componente tem uma amplitude A(k) e uma freqüência ω(k).
• A(k) calculada por uma Transformada de Fourier
→ Outra manifestação do princípio da incerteza (pacotes bem localizados no espaço têm conteúdo espectral amplo)

• ω(k) é chamada relação de dispersão
→ Parabólica para elétrons livres k2 → ω = 2m

• Propaga-se com velocidade de grupo vg = dω dk → Representa a velocidade da partícula clássica
2

|A(k)|2

|ψ|

t=0

x c 2003 Alexandre Romariz, Universidade de Brasília

K
3

Elétron em um poço potencial infinito

✁

• Ilustra a quantização da energia
• Potencial infinito nas extremidades garante localização da partícula dentro do poço

V=0
II

I

II

x
0

Região II

L

Região I

•ψ≡0

• Mesma equação do elétron livre
• ψ(x) = A exp( jkx) + B exp(− jkx)

Condições de contorno
• Continuidade em x = 0
→ ψ(x = 0) = 0
→ A=-B
→ ψ(x) = C sin(kx)

• Continuidade em x = L
→K=

√
2mE

= nπ
L , n = 1, 2, · · ·

• Normalização
→ Permite calcular C c 2003 Alexandre Romariz, Universidade de Brasília

4

Exemplos de funções de onda no poço
Níveis discretos de energia
2 2

n h
• En = 8mL
2.