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Produto Escalar
Definição:
Produto escalar é dado pela multiplicação da variação dos vetores nos eixos X, Y e Z, onde sempre teremos no mínimo dois vetores para se formar um produto escalar. Todo produto escalar resultará em um número, ou seja, em um escalar. O produto vetorial é dado na forma de , onde u e v são quaisquer vetores. Podemos definir a sua fórmula como sendo = k, onde k é um número real, seja ele positivo, negativo ou nulo. Digamos que o vetor u tenha as seguintes coordenadas (a, b, c) e o vetor v tenha as coordenadas (d, e, f), então fazemos um produto escalar desses dois vetores, pegando a variação de cada um deles nos eixos e multiplicamos, veja o exemplo: : k , u (a, b, c) e v (d, e, f), u.v = (ad + be + cf ). Outro exemplo para concretizarmos todo o processo do produto escalar. Dados os vetores , ambos tendo respectivamente as coordenadas (2, 3, 4) e (1, 5, 3,), o produto escalar desses vetores será: = 2.1 + 3.5 + 4.3 = 29. O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:
u.v = |u| |v| cos(x)

Ângulo Entre Dois Vetores:
Como observamos, os vetores podem fazer entre si uma multiplicação das variações nos eixos e chamamos de produto escalar e que todo produto escalar vai resultar em um número Real, mas além dessa multiplicação, os vetores fazem entre si um ângulo, ao qual chamamos de Ɵ(Teta) e esse ângulo está diretamente ligado ao resultado do produto escalar, ou seja, se tivermos um produto escalar maior que zero, o ângulo formado entre esses dois vetores será Agudo, ou seja, menor que 90º. Se tivermos um produto escalar menor que zero, o ângulo formado entre esses dois vetores será Obtuso, ou seja, maior que 90º. Com o produto escalar sendo igual a zero, o ângulo formado entre esses dois vetores será Reto, ou seja, igual a 90º.
Projeção Ortogonal: A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano a é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

Propriedades Do