apostila

Cálculo III
Professor: Renato Rocha
1. INTEGRAÇÃO E SUAS APLICAÇÕES

1.1 INTEGRAIS INDEFINIDAS

1.1.1 INTRODUÇÃO Até aqui preocupamos essencialmente com o problema: dada uma função, achar a sua derivada. Mas, em muitas aplicações importantes do cálculo envolvem o problema inverso: dada a derivada de uma função, determinar a função. Por exemplo, um físico que conhece a velocidade de um corpo em movimento e queira determinar a posição do corpo num dado instante; um pesquisador que conheça a taxa de aumento de uma determinada população e queira prever a população num instante futuro.
O processo de obtermos uma função a partir de sua derivada é chamada de integral indefinida ou antiderivação.

1.1.2 PRIMITIVA OU ANTI-DERIVADA

Se F ’ ( x ) = ƒ ( x ) , então a função F( x ) é chamada de primitiva ou antiderivada da função ƒ (x) .

Exemplo: F (x) = é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois () ’ = 2x G (x) = é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois () ’ = 2x H (x) = é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois () ’ = 2x

1.1.3 OBSERVAÇÕES
1. Todas as primitivas de ƒ (x) = 2x são da forma: F (x) = , onde C é uma constante qualquer.
2. Uma função ƒ (x) admite infinitas primitivas que diferem entre si por uma constante. Portanto, se F (x) é uma primitiva da função ƒ (x) , então qualquer outra primitiva de ƒ (x), tem a forma: G (x) = F (x)+C .

3. A interpretação geométrica para o fato de que as infinitas primitivas da mesma função contínua diferem por uma constante, é que os seus gráficos são translações verticais uma da outra, ou seja, as inclinações de todas as curvas são iguais para uma mesma abscissa x. O gráfico abaixo (figura 1.1.1) apresenta quatro primitivas da função ƒ (x) = 2x .