APostila Llog

LOGARITMOS = Logo (razão) + arithmos (números)

DEFINIÇÃO
Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b≠1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a:

logb a = x bx = az

Na sentença logb a = x temos:
a) a é o logaritmando;
b) b é a base do logaritmo;
c) x é o logaritmo de a na base b.

EXEMPLOS:
a) log5 25 é o expoente x tal que 5x = 25. Temos: 5x = 25  5x =52  x=2.
Assim, log5 25 = 2.

b) log9 1 é o expoente x tal que 9x = 1 . Temos. 9x = 1  9x = 90  x= 0.
Assim, log9 1 = 0

CAMPO DE EXISTÊNCIA OU DOMÍNIO
a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1. (b>0 e b≠1)
b) O logaritmando tem de ser um número real positivo. (a>0)

Observação:
a) Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10. São os chamados logaritmos decimais ou de Brigs.
EXEMPLOS: log 2 = log10 2 log 3 = log10 3

b) Temos também os chamados logaritmos neperianos (John Napier), a base desses ahlogaritmos é o número irracional e= 2,71828....
EXEMPLOS: loge 2 = ln 2 loge 3 = ln 3

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Sendo a>0 , b>0 e b≠1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição de logaritmo:
Logb b =1 logb 1 = 0 logb bm = m logb a = logb c  a = c blogba = a

EXEMPLOS:
a) log8 8 =1 b) log9 1 = 0 c) log3 34 = 4 d) log x = log 3  x = 3 e) 7log713 = 13

Propriedades dos Logarítmos
Logaritmo do produto.
Se 0 0 e c > 0, então loga(b.c) = loga b + loga c.

EXEMPLO: log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3.

Logaritmo do quociente.
Se 0 0 e c > 0, então loga (b/c) = loga b – loga c.

EXEMPLO: log3 (8/7) = log3 8 – log3 7

Logaritmo da potência.
Se 0 0, então loga(bn) = n . logab.

Caso Particular:

MUDANÇA DE BASE:
Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa