Apostila equaçoes diferencias e series

UNIVERSIDADE SALVADOR - UNIFACS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS
DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES
DOCENTE: GUSTAVO COSTA
ALUNO: _______________________________________________________________________

1ª Lista de textos, exercícios e aplicações
1. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s)
Muitos dos princípios em Ciências e em Engenharias dizem respeito a relações entre quantidades
(grandezas) as quais estão variando (em geral, em relação ao tempo). Uma vez que taxas de variação são representadas matematicamente por derivadas, não é de surpreender que tais princípios estejam freqüentemente expressos em termos de equações envolvendo derivadas
(equações diferenciais). Estudaremos alguns exemplos de fenômenos “modelados” via equações diferenciais de 1ª. ordem.
Exemplos envolvendo os conceitos de solução geral e particular de uma EDO.
Exemplo 1: Considere y′ − y = 0 (I). y = e x é uma solução de (I). y = C ⋅ e x é a solução geral de (I).

Se tomarmos a condição inicial y (0) = 2 e usarmos na solução geral, vamos encontrar que y = 2e x é uma solução particular de (I).

Exemplo 2: Considere agora y′′ + y = 0 (II)

y = cos x e y = senx são soluções de (II). y = C1 ⋅ cos x + C2 ⋅ senx é a solução geral de (II).
Para determinarmos uma solução particular de (II), precisamos de duas condições iniciais.
Suponha então que y (π ) = 2 e y′(π ) = −1 são condições iniciais dadas. Então,
Substituindo y (π ) = 2 em y = C1 ⋅ cos x + C2 ⋅ senx temos 2 = C1 ⋅ cos π + C2 ⋅ senπ , daí, C1 = −2 .
Substituindo y′(π ) = −1 em y′ = −C1 ⋅ senx + C2 ⋅ cos x temos −1 = −C1 ⋅ senπ + C2 ⋅ cos π C2 = 1 .
Logo, y = −2 ⋅ cos x + 1 ⋅ senx = −2 cos x + senx é uma solução particular de (II).

Exercício 3 – Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial correspondente: Função
a)

x

y = C1e + C2 xe

x

b) u = senx − 1 + ke−senx
c)

x(t ) = C1 cos(2t ) + C2sen(2t )

Equação Diferencial y′′ − 2 y′ + 1 = 0 du + u cos x = senx