Apostila de matrizes e determinantes

Apostila: Matrizes e Determinantes
Prof. André Luís Rossi de Oliveira

1 Matrizes
1.1 Conceitos Básicos
Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Exemplos: (1) Considere a tabela abaixo:

Altura (metros) Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 Pessoa 4 1,70 1,75 1,60 1,81

Peso (quilos) 70 60 52 72

Idade (anos) 23 45 25 30

Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, obtemos a matriz ⎡1, 70 ⎢1, 75 ⎢ ⎢1, 60 ⎢ ⎣1,81 (2) 23⎤ 45⎥ ⎥ 25⎥ ⎥ 30 ⎦

70 60 52 72

Os elementos de uma matriz podem ser números, funções etc, como nas matrizes abaixo: ⎡ x2 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x 2⎥ ⎢ x + 1 3⎥ ⎣ ⎦

[5

sen x −2]

⎡0⎤ ⎢ e3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢3 x ⎥ ⎣ ⎦

1

Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por

Am×n

⎡ a11 ⎢a = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎢ am1 ⎣

a12 a22 am 2

a1n ⎤ a2 n ⎥ ⎥ = ⎡a ⎤ , ⎥ ⎣ ij ⎦ m×n ⎥ amn ⎥ ⎦

onde aij é o elemento característico da matriz, com i representando a linha e j, a coluna. Definição: Duas matrizes Am×n = ⎡ aij ⎤ ⎣ ⎦ m×n e Br×s = ⎡bij ⎤ r×s são iguais, ou seja, A = B , se elas ⎣ ⎦ têm o mesmo número de linhas ( m = r ) e colunas ( n = s ) e todos os seus elementos correspondentes são iguais ( aij = bij ).

Exemplo:
⎡ 22 ⎢ ⎢ 3 ⎢ cos 900 ⎢ ⎣ ln1 sen 90o ⎤ ⎡ 4 0 1⎤ ⎥ 0 9 ⎥ = ⎢ 3 0 3⎥ ⎢ ⎥ −1 3 ⎥ ⎢ 0 −1 3 ⎥ ⎦ ⎥ ⎣ ⎦

1.2 Tipos Especiais de Matrizes

Seja Am×n uma matriz com m linhas e n colunas. Alguns tipos importantes de matrizes são os seguintes:

(a)

Quadrada: É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas ( m = n ).

⎡ 2 0 −9 ⎤ ⎢ 4 −8 −7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 8 6 ⎥ 3×3 ⎣ ⎦

[ 4]1×1

2

(b)

Nula: aij = 0 ∀i, j .

⎡0 0 ⎤ ⎢0 0 ⎥ ⎣ ⎦

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0 0

0 0 0 0

0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

(c)

Coluna: n = 1 . ⎡1⎤ ⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −3⎦ ⎡6⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −7 ⎦

Uma matriz coluna é chamada de vetor-coluna. Linha: m = 1 .

(d)

[3

−7 −4]

[6

4 1 −8]

Uma matriz linha é chamada de vetor-linha. Diagonal: É uma matriz quadrada onde aij = 0 ∀i ≠ j .

(e)

⎡2 0 0 ⎤ ⎢0 1 0 ⎥