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III - TRANSFORMAÇÕES DE IMPEDÂNCIASTRANSFORMAÇÃO DE UM CIRCUITO RC PARALELO PARA RC SÉRIE.
A fig. III-1 mostra um par de circuitos matemáticas, terão impedâncias iguais.
que, se satisfizerem algumas relações
− jX s
− jX p
Rp
⇔ rs (b)
(a)
Fig. III-1 Transformação do arranjo paralelo para série
Calculando-se a impedância do circuito da fig. III-1.a, tem-se:
− jX p R p
− jX p R p (R p + X p )
=
=
R p − jX p
R2 + X 2 p p
−1
1
1
Z=
+
R
p − jX p
Separando as partes real e imaginária, fica:
Z=
2
Rp X p
2
2
Rp + X p
−j
X p R2 p 3-1
2
R2 + X p p Portanto
Z = rs − jX s
Xs =
e
rs =
onde
X pR2 p 3-2
R2 + X 2 p p
2
RpX p
3-3
2
Rp + X 2 p 33
A expressão 3-1 mostra que o circuito paralelo possui a mesma impedância de um circuito série que tivesse a reatância X s e a resistência rs , expressos pelas equações
3-2 e 3-3 respectivamente.
Dividindo 3-2 por 3-3, resulta:
Rp
Xs
=
=q
rs
Xp
3-4
Substituindo as igualdades 3-4 nas igualdades 3-2 e 3-3 chega-se aos resultados:
Xs =
rs =
Xp
1
+1 q2 3-5
Rp
3-6
q 2 +1
q=
onde
Rp
Xp
3-7
As expressões 3-5, 3-6 e 3-7 servem para transformar o arranjo paralelo no arranjo série. A partir delas pode-se obter as expressões que governam a transformação inversa:
(
)
R p = rs q 2 + 1
3-8
1
X p = X s 2 + 1
q
3-9
onde
q=
Xs rs 3-10
34
Analogamente se demonstra a transformação do inutor-resistor série para paralelo mostrado na fig III-2
Xs =
jX p
jX s
⇔
Rp
rs q= Rp
Xp
=
rs =
Xp
1
+1 q2 Rp q2 + 1
Xs rs Fig. III-2 - Transformação indutor-resistor
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício III-1
O circuito abaixo deve ressoar na freqüência ω 0 . As impedâncias dos componentes reativos foram