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Progressão geométrica

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.1 A razão é indicada geralmente pela letra (inicial da palavra "quociente").
Alguns exemplos de progressão geométrica: em que 1 em que em que em que em que
Definição por recursão e fórmula do termo geral

Costuma-se denotar por o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial e sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:

É fácil demonstrar por indução matemática que

Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (). Neste caso, o termo geral torna-se

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

Soma dos termos de uma P.G.
A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

Caso a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

Demonstração
Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

Multiplica-se pela razão

Subtrai-se a primeira da segunda, cancelando-se os termos repetidos:

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

Divide-se ambos os termos por e o resultado segue.
Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.
A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de até é calculada pela seguinte fórmula:

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando Sua soma é:

Se e então sua soma é mais infinito e se e sua soma é menos infinito.

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso por exemplo. pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo