ADL22

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4.10 Solução das Equações de Estado através da Transformada de
Laplace
Considere a equação de estado

(4.92)

(4.93)
A transformada de Laplace fornece:
(4.94)
A fim de separar X(s), substitua sX(s) por sIX(s), onde I é uma matriz identidade n X n.
Combinando todos os termos em X(s). obtemos

(4.95)
Resolvendo para X(s)

(4.96)
Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída, resulta
(4.97)

Solução por transformada de Laplace; autovalores e pólos
Problema Dado o sistema representado no espaço de estados pelas Eqs.
(4.99)

(4.99)

faça o seguinte:
a. Resolva a equação de estado precedente e obtenha a saída para urna dada entrada exponencial. b. Obtenha os autovalores e os pólos do sistema.
Solução
a. Resolveremos o problema determinando as partes componentes da Eq. (4.96) e em seguida fazendo a substituição na Eq. (4.97). Primeiramente, obtemos A e B por comparação da Eq.
(4.99a) com a Eq. (4.92). Como

(4.100)

(4.101)

(4.102)

Como U(s) a transformada de Laplace de e-t , é 1/(s + 1), X(s) pode ser calculado. Reescrevendo a Eq. (4.96) como

(4.103) e usando B e x(0) com base nas Eqs. (4.99a) e (4.99c), respectivamente, obtemos

(4.104)

A equação de saída é determinada a partir da Eq. (4.99b). Executando as adições indicadas, resulta (4.105)

ou

(4.106)

onde o pólo em —1 cancelou um zero em —1. Aplicando a transformada de Laplace inversa,
(4.107)

4.11 Solução das Equações de Estado no Domínio do Tempo
Admita, primeiramente, a equação de estado homogênea da forma

(4.109)
Como se deseja calcular x. admitamos uma solução por série, exatamente como fizemos nas equações diferenciais escalares elementares. Assim,
(4.110)
Substituindo na equação diferencial, obtemos

(4.111)
Igualando os coeficientes semelhantes resulta

(4.112)

Substituindo estes valores naEq. (4.110) resulta

(4.113)

Mas, da Eq. (4.110)
Portanto,

(4-114)

(4.115)

Seja

(4.116)

Onde eAt é simplesmente uma notação para a matriz formada pelo membro da direita da Eq.
(4.116).