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10. NÚMEROS COMPLEXOS
10.1 INTRODUÇÃO
Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário.
O número a é denominado parte real do número complexo e b é denominado parte imaginária do número complexo. Atenção: “parte imaginária” não deve ser confundida com “número imaginário”.
O número imaginário i equivale à raiz quadrada de – 1, isto é, i = −1 . O número imaginário, portanto, não pertence ao conjunto dos números reais R pois a raiz quadrada de um número negativo não é real. Por outro lado, o quadrado do número imaginário é real, pois i 2 = −1 .
Exemplos:
a) z = 2 + 3i
Neste caso, z é um número complexo cuja parte real é 2 e cuja parte imaginária é 3.
b) z = – 1 + i
Aqui, z é um número complexo, sua parte real é – 1 e sua parte imaginária é 1.
c) z = 2/3 – i/7
Aqui, z é um número complexo, sua parte real é 2/3 e sua parte imaginária é
– 1/7.
c) z = – 5i
Aqui, z é um número complexo, sua parte real é 0 (zero) e sua parte imaginária é – 5.
d) z = 6
Note que, neste caso, z é um real; no entanto, também pode ser interpretado como número complexo com parte imaginária nula.
Um número complexo com parte imaginária nula é chamado complexo real puro e um número complexo com parte real nula é chamado complexo imaginário puro.
Note que um número complexo real puro é sempre um número real. Decorre disso que o conjunto dos números reais R é um subconjunto do conjunto de números complexos, denominado C.
O complexo conjugado de um número z = a + bi é dado por z* = a – bi.

Exemplo:
Se z = 2 – 3i, então seu complexo conjugado é z* = 2 + 3i.
10.2 FORMAS CARTESIANA E POLAR
A forma padrão z = a + bi é também chamada de forma cartesiana de um número complexo z. Porém, todo número complexo pode ser colocado no que chamamos de forma polar, que envolve medidas trigonométricas: z = r cos  x   i sen  x  ,

em que r =∣z∣=  a 2b 2

e o ângulo x é determinado a partir da tangente tg  x  =

b a O valor r, também denotado