2014 CG Calculo IME 1

CONCURSO DE ADMISSÃO
AO
CURSO DE GRADUAÇÃO
CÁLCULO
CADERNO DE QUESTÕES
2014
1a QUESTÃO

Mostre que:

Valor: 1,00

ߨെ‫ݔ‬
ሺሺ1 ൅ ݁ ଶ௫ ሻܿ‫ ݏ݋‬ቀ
2 ቁ ݀‫ ݔ‬ൌ 0
න
݁ ௫ ሺ1 ൅ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬ସ ሻ
ିగ
గ

2a QUESTÃO

Valor: 1,00

Determine, caso existam, os valores dos limites abaixo: abaixo 1
‫ݔ‬െ1
ܽሻ lim ‫ ݄݃ݐ ݔ‬൬ ൰ ܾሻ lim
௫→଴
௫→଴ senሺ‫ ݔ‬ଶ െ 1ሻ
‫ݔ‬
3a QUESTÃO

Valor: 1,00

a) Mostre que se ܽ é um número real positivo, então vale a desigualdade

ܽ൅

1
൒2
ܽ

b) Esboce o gráfico da função ݂ሺሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ି ݔ‬ଵ ൅ ‫ ݔ‬, indicando possíveis pontos de mínimo e máximo, raízes e assíntotas.

4a QUESTÃO

Valor: 1,00

Qual o máximo volume de uma pirâmide reta de base quadrada cuja área total é igual a 1݉ଶ .
1

5a QUESTÃO

Valor: 1,00

Calcule o valor da integral
గ

න ݁ ௫ ‫ ݔ ݊݁ݏ‬cos ‫ݔ݀ ݔ‬
଴

6a QUESTÃO

Valor: 1,00

Calcule o comprimento do cardioide ‫ ݎ‬ൌ 2ሺ1 ൅ ܿ‫ߠݏ݋‬ሻ.
7a QUESTÃO

Valor: 1,00

Sem usar qualquer artifício que envolva derivação, determine se as funções abaixo são contínuas no ponto ሺ0,0ሻ.

‫ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ଶ
‫݊݁ݏ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻ
, ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ≠ ሺ0,0ሻ ܾሻ ݃ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ቐඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ
ܽሻ ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ቐ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ
0
, ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ሺ0,0ሻ
0
8a QUESTÃO

, ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ≠ ሺ0,0ሻ
, ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ሺ0,0ሻ

Valor: 1,00

Encontre o par de equações cartesianas da reta tangente, simultaneamente, às superfícies de equações 2‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൅ 2‫ ݖ‬ଶ ൌ 5 e ‫ ݖ‬ൌ ݁ ௫ି௬ no ponto ሺ1,1,1ሻ.

9a QUESTÃO

Valor: 1,00

Dado o campo escalar ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ሺ‫ ݕ‬൅ ܽ‫ݔ ݃ݐܿݎ‬ሻ݁ ሺ௫
a) expressões para

ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ e డ௬ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ;
డ௫
డ௙

డ௙

మ ା௬ మ ሻ

, determine:

b) a derivada direcional de ݂ na direção o vetor ሺ1,1ሻ no ponto ሺ0,0ሻ.

10a QUESTÃO

Valor: 1,00

Seja ܲ o plano tangente à superfície ‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݖ‬ଶ ൌ 2 no ponto ሺ1,2,3ሻ. Determine a equação do plano tangente ܳ à mesma superfície mas em outro ponto dela tal que ܳ seja paralelo à ܲ.
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