2013 2 AP3 C2 Gabarito

AP3 CÁLCULO II- 2013/2 Gabarito
AP31a Questão (3,0 pontos) Considere a região

(a) (1,5 ponto) Calcule a área da região

R

sombreada mostrada na seguinte figura: figura R.

(b) (1,5 ponto) Use o método dos discos ou arruelas para achar o volume do sólido rotação da região

S

gerado pela

R em torno do eixo Oy .

Solução

Figura 2

Figura 3

(a) Da Figura 2 segue que
1

1

0

0

1

A( R) = ∫ [(3 − 2 y 2 ) − y 2 ] dy = ∫ [3 − 3 y 2 ] dy = 3 y − y 3  0 = 3 − 1 = 2 unidades de área
(b) Da Figura 3 segue que
1

V =π

∫0 ([ R( y)]

2

2

)

− [ r ( y ) ] dy , onde R( y ) = (3 − 2 y 2 ) > 0 e r ( y ) = y 2 ≥ 0 .

Cálculo II

AP3 – Gabarito
1

V ( R) = π

∫
0

2
2

2
2 
 3 − 2 y  −  y   dy = π


1



2013/2

1

∫ (9 −12 y

)

+ 3 y 4 dy =

0

V ( R) = π  9 y − 4 y 3 + y5   = π  9 − 4 +  = π
5  0
5 5


3

2

3

28

unidades de volume.

2a Questão (3,0 pontos)

(a) (1,5 ponto) Usando o método de substituição, calcule

∫

(b) (1,5 ponto) Usando o método de frações parciais, calcule

x −3 (1 + x −2 )−3 dx .

1

∫ x( x2 + 4) dx .

Solução
(a)

∫

x −3 (1 + x −2 ) −3 dx = ∫

x −3
(1 + x −2 )3

dx

Faça u = 1 + x −2 então du = −2 x −3dx logo −

du
= x −3dx . Assim
2

1 −3
1  u −2 
1
1
∫ (1 + x −2 )3 dx = ∫ 2u 3 = − 2 ∫ u du = − 2  −2  + C = 4u 2 + C = 4(1 + x −2 )2 + C

 x −3

(b)

∫

− du

1

∫ x( x2 + 4) dx dx  A Bx + C 
=∫  + 2
 dx
2
x( x + 4)
 x x +4 

(*)

1 = A( x 2 + 4) + ( Bx + C ) x
1 = ( A + B) x 2 + Cx + 4 A
A + B = 0

C = 0
4A = 1


(1)
(2)
(3)

De (3) A = 1/ 4 e substituindo este valor na equação (1) resulta

B = −1 4 , de (2) segue que
Página

2

C = 0 . Substituindo estes valores em (*) resulta

Fundação CECIERJ

Consórcio CEDERJ

Cálculo II

∫

AP3 – Gabarito

2013/2

 1

dx x 1
1
2
=∫ 
−
 dx = ln | x | − ln( x + 4) + C .
2
2 x( x + 4)
4
8
 4 x 4( x + 4) 

3a Questão (2,0 pontos)
+∞

∫0 e

(a) (1,0 ponto) Calcule

−3 x

dx

.

+∞

(b) (1,0 ponto) Analise a convergência ou divergência da integral

∫2

e−