2 AulasTestesDerivadas Mateussss

Aplicações de Derivadas
1ª Aplicação de Derivada
Notas de Aula

Primeiramente analisemos o seguintes gráfico

Discussão
 Para os valores de 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 e 𝑥4 dizemos que eles são pontos extremos da função,
𝑓(𝑥1 ) e 𝑓(𝑥3 ) são chamados máximos relativos e 𝑓(𝑥2 ) e 𝑓(𝑥4 ) são chamados mínimos relativos

Máximo Relativo
 Definição: Uma função 𝑓 tem um
Máximo Relativo em 𝑐 , se existe um intervalo aberto 𝐼, contendo 𝑐, tal que
𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝐷(𝑓)

Mínimo Relativo
 Definição: Uma função 𝑓 tem um
Mínimo Relativo em 𝑐 , se existe um intervalo aberto 𝐼, contendo 𝑐, tal que
𝑓 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝐷(𝑓)

Exemplo
 A função 𝑓 𝑥 = 3𝑥 4 − 12𝑥 2
 Máximo relativo em 𝑐1 = 0 , pois existe o intervalo
−2,2 tal que 𝑓 0 ≥ 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ (−2,2) ∩ 𝑅.
 Mínimo relativo em 𝑐2 = − 2 e 𝑐3 = 2, pois existe o intervalo −2,2 tal que 𝑓 − 2 ≤ 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ (−2,2) ∩
𝑅, bem como 𝑓 − 2 ≤ 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ (−2,2) ∩ 𝑅
 Gráfico (Quadro)

Proposição
 Suponhamos que 𝑓(𝑥) exista para todos os valores de 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 e que 𝑓 tem extremos relativo em 𝑐, onde 𝑎 < 𝑐 < 𝑏.
Se 𝑓′ existe então 𝑓 ′ 𝑐 = 0

 Esta proposição pode ser interpretada geometricamente. Se 𝑓 tem um extremo relativo em 𝑐 e 𝑓′(𝑐) existe, então o gráfico de y = 𝑓(𝑥) tem uma tangente horizontal no ponto x = c
 Note que se 𝑓 ′ 𝑐 = 0 é necessário para que exista um extremo relativo em c, mas o fato de
𝑓 ′ 𝑐 = 0 não implica que exista um extremo relativo em c

Exemplo

1. 𝐴 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 tem como derivada

𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 . Assim, 𝑓 ′ 𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 0, porém como já sabemos pelo gráfico de
𝑦 = 𝑥 3 , esta função não possui extremos relativos

Ponto Crítico
 Definição: o ponto 𝑐 ∈ 𝐷(𝑓) tal que
𝑓´ 𝑐 = 0 ou 𝑓´ 𝑐 não existe, é chamado
Ponto Crítico de 𝑓
 Logo uma condição necessária para a existência de um extremo relativo em um ponto 𝑐 é que 𝑐 seja ponto crítico de 𝑓

 Porém, para um dado intervalo 𝐼 podem existir diversos pontos extremos