11 Geometria III

Escola Secundária de Alberto Sampaio

11º Ano

Ficha Formativa de Matemática A – Geometria III
Equação do plano e equação da reta no espaço
Plano definido por um ponto e um vetor normal :


Seja A  x1 , y1 , z1  um ponto do plano e n   a , b , c  um vetor normal do plano:
A equação do plano  é dada por :




AP. n  0 

a x  x1   b  y  y1   c  z  z1   0

conhecida por equação cartesiana do plano .
Desenvolvendo a equação a x  x1   b  y  y1   c z  z1   0 obtém-se uma equação do tipo ax by  cz  d  0 conhecida por equação geral do plano .

Exemplo: Determina uma equação do plano que contém o ponto A   1 , 2 , 1  e é perpendicular ao vetor


n  3, 1,2 

Resolução:




AP. n  0  3  x  1   1  y  2   2  z  1   0
 3x  3  y  2  2z  2  0
 3x  y  2z  3  2  2  0
 3x  y  2z  1  0

Plano definido por 3 pontos não colineares :

Modo de proceder:




 Determinam-se dois vetores quaisquer, por exemplo AB e AC .
 
 n. AB  0
 Determina-se um vetor normal ao plano:  
 n. AC  0




... 



 n  a, b ,c



 Escreve-se a equação do plano: a x  x1   b y  y1   c z  z1   0

Exemplo: Determina uma equação do plano ABC sendo A  2 ,  1 , 1  , B  0 , 1 , 1  e C  2 , 3 , 0  .
Resolução:




 Determinar dois vetores quaisquer: AB    2 , 2 , 0  e AC   0 , 4 , 1  .


















 o vetor n   a , b , c  é perpendicular ao plano sse n  AB  n  BC  n. AB  0  n.BC  0

ESAS – Geometria III

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 
 a , b , c .   2 , 2 , 0   0
2a  2b  0
a  b
 n. AB  0

 
 
 
 
 a , b , c .  0 , 4 ,  1   0
4b  c  0
c  4b
 n. BC  0




Os vetores da forma n   b , b , 4b  , b  0 são perpendiculares ao plano ABC.


Se b  1 , por exemplo, vem n   1 , 1 , 4  .
Assim, uma equação do plano é:
1 x  2  1 y 1  4 z 1  0  x  2  y  1  4z  4  0  x  y  4z  7  0 

Casos particulares:
Planos