022608 Gabarito Comentado Vol

Matemática – 2ª série – Ensino Médio – v. 3
Exercícios

Relação de Stifel
No material didático encontramos a seguinte
 n + 1
 n
 n  fórmula   +  = 
 p + 1
 p
 p + 1
Essa identidade é conhecida como relação de Stifel. O matemático grego Tales de Mileto
(640-550 a.C), considerado um dos sete sábios da Antiguidade, dizia que A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos. Nesse sentido, com uma análise cuidadosa procuraremos demonstrar que essa identidade realmente é válida. Necessitaremos da seguinte regra:

 n  n  n! n!
 p +  p + 1 = p!(n − p)! +
(p + 1)!(n − p − 1)! n !(p + 1 + n − p) =
= (p + 1)n !+ (n − p)n ! =
(p + 1)!(n − p)!
(p + 1)!(n − p)!
=

n !(n + 1) (3)
(p + 1)!(n − p)!

Também podemos escrever (n–p) como:
(n – p) = (n – p + 0) =
= (n – p + 1 – 1) = (n + 1 – p – 1) =
= [(n + 1) – (p + 1)]
(n – p) = [(n + 1) – (p + 1)]. (2)

n!(n + 1) = (n + 1)!

Demonstração
Desenvolvendo o lado direito da igualdade:
(n + 1)! = (n + 1) . n . (n – 1)(n – 2) ... 1

Agora, utilizaremos (1) e (2) na fração resultante (3):

Podemos escrever o lado direito da igualdade da seguinte forma:

n !(n + 1)
(n + 1)! = (4)
(p + 1)!(n − p)! (p + 1)![(n + 1) − (p + 1)]!

(n + 1)! = (n + 1). n n −
1)(
n
− 2)....
.(
1 n! (n + 1)! = (n + 1)n!
Assim, concluímos que
(n + 1) n! = (n + 1) ! (1)
Agora, observe que podemos desenvolver o lado esquerdo da relação de Stifel:

Percebemos agora que o lado direito da equação (4) pode ser escrito na notação de número binomial:  n + 1
(n + 1)!
.
= 
(p + 1)![(n + 1) − (p + 1)]!  p + 1
Portanto, assim fica demonstrada a relação de Stifel, em que:
 n
 n 
 n + 1
 p +  p + 1 =  p + 1

matemática

1

Observação
A figura abaixo corresponde à tela inicial do programa de computador Microsoft Excel. Esse programa é muito útil no trabalho com planilhas eletrônicas. No primeiro volume do material didático utilizamos o Excel para trabalhar com matrizes, no entanto aqui