Métdo de Birge-Vieta

Métdo de Birge-Vieta
Cálculo de Raízes Reais de um Polinômio
Introdução
Não se precisa de Cálculo Numérico para calcular as raízes de uma equação do segundo grau. É de todos conhecida a fórmula –b ±(b2 – 4ac) /2a .
Entretanto, se temos polinônios de ordem maior que 2, as dificuldades aumentam.
Há soluções para casos particulares, como as biquadradas, faltando soluções analíticas gerais para polinômios de ordem elevada.
O problema é enfrentado com o Método de Newton, já apresentado, onde se usa a expressão xi+1 = xi – f(xi) / f ’ (xi).
Para cálculo do valor de f(xi) e f ’ (xi) , usa-se o algoritmo de Ruffini ou Briot-Ruffini, com o objetivo de minimizar os cálculos necessários, permitindo maior precisão.
Algoritmo de Briot-Ruffini.
Para se calcular o valor de um polinômio num ponto x0 , faz-se a divisão de P(x) por x – x0 e acha-se o resto R, da divisão.
R = p(x0) .
Vejamos: seja Q(x) o quociente da divisão de P(x) por x – x0 .
Tem-se: P(x) = (x – x0) Q(x) + R .

P(x0) = (x0 – x0) Q(x0) + R . Logo: R = P(x0) .
Seja o dividendo P(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

e o quociente Q(x) = b4 x3 + b3 x2 + b2 x + b1 , sendo R o resto.
P(x) = (x – x0) Q(x) + R , logo: a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x – x0) (b4 x3 + b3 x2 + b2 x + b1) + R =
= b4 x4 + (b3 - x0 b4) x3 + (b2 - x0 b3) x2 + (b1 - x0 b2) x + (R - x0 b1)
Tratando-se de identidade de polinômios, pois essa igualdade vale para qualquer valor de x , tem-se: b4 = a4 b3 - x0 b4 = a3 ou b3 = a3 + x0b4 b2 - x0 b3 = a2 ou b2 = a2 + x0b3 b1 - x0 b2 = a1 ou b1 = a1 + x0b2
R - x0 b1 = a0 ou R = a0 + x0b1

a4 a3 a2 a1 a0 x0 b4 b3 b2 b1 R Dessa forma tem-se o quociente Q(x) e o valor de P(x0) = R.Cálculo das raízesVoltemos ao cálculo das raízes do polinômio, pelo método de Newton-Raphson.Partindo de x0 , vamos calcular x1 = x0 – P(x0)/P’(x0) , onde P(x0) e P’(x0) serão calculados usando-se Briot-Ruffini.
Entretanto, lembrando que P(x) = (x-x0)Q(x) + R , tem-se que :