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Faculdade de Engenharia
T´picos Especiais II - ECA o Introdu¸˜o ` Sistemas N˜o-Lineares ca a a Parte II - Lineariza¸˜o ca 1

Introdu¸˜o ca Uma forma bastante difundida no controle de sistemas n˜o lineares ´ a lia e neariza¸ao no entorno de um ponto de opera¸ao estacion´rio. Desta forma, c˜ c˜ a podem-se aplicar as diversas t´cnicas de projeto de sistemas de controle lie neares (tanto no dom´ ınio da freq¨ˆncia quanto no dom´ ue ınio do tempo). Um inconveniente nesta abordagem relaciona-se ao fato da lei de controle, obtida atrav´s do modelo linear, ser v´lida apenas em uma regi˜o pr´xima ao ponto e a a o de opera¸ao do sistema a qual n˜o se tem id´ia do tamanho da regi˜o de vac˜ a e a lidade do controlador (em termos de estabilidade e desempenho dinˆmico). a 2

Lineariza¸˜o ca Seja o seguinte sistema n˜o-linear: a x = f (x(t), u(t))
˙
y = h(x(t), u(t))

(1)

onde x ´ o vetor de estados, u ´ o sinal de entrada, y ´ o sinal de sa´ e e e ıda, e f e h s˜o fun¸oes n˜o lineares dos estados e da entrada. a c˜ a Suponha que se deseja operar o sistema de controle no entorno de um ponto de opera¸ao (x∗, u∗) utilizando uma lei de controle projetada em c˜ rela¸ao ao seguinte modelo linearizado: c˜ ∆x = A∆x + B ∆u
˙
∆y = C ∆x + D ∆u

(2)

onde, x(t) = x ∗ +∆x(t), A =

∂f (x,u)
∂x

u(t) = u ∗ +∆u(t), C =

∂h(x,u)
∂x

y (t) = y ∗ +∆y (t),

x=x∗, u=u∗ x=x∗, u=u∗

B=

∂f (x,u)
∂u

D=

∂h(x,u)
∂u

x=x∗, u=u∗

(3) x=x∗, u=u∗

Note que no modelo linearizado, os estados, a entrada e a sa´ repreıda sentam pequenas varia¸oes no entorno do ponto de opera¸ao definido por c˜ c˜
(x∗, u∗) e y ∗ = h(x∗, u∗).
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Uma lei de controle linear pode ser aplicada ao sistema definido em (2) de maneira a garantir que o sistema se mantenha nestas condi¸oes de opera¸ao c˜ c˜ independente de poss´ ıveis perturba¸oes externas. c˜ 3

Pˆndulo Invertido e Neste laborat´rio, com o