Transitividade se Semigrupos em Variedades Homogêneas

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Transitividade de semigrupos em variedades homogeneas
FERRAREZE, Janete de Paula1; SAN MARTIN, Luiz A. B.2
Resultados

Exemplo

O Primeiro resultado que veremos envolve o conceito
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de B-convexidade e e fundamental para encontrarmos o tipo parab´ lico de alguns semigrupos como poderemos ver no o exemplo. Podemos encontrar a demonstracao de tal resul¸˜ tadao em [1].

Para exemplificar tal resultado, consideremos o grupo de Lie G = Sl(2n, R), SW = {g ∈ Sl(2n, R) : gW ⊂ W }
´
um semigrupo de G, onde W e um cone pontual e gerador do
R2n e L = Sp(n, R) um subgrupo de G. Verifiquemos, atrav´ s e dos resultados apresentados, que SW age transitivamente na variedade homogˆ nea Sl(2n, R)/Sp(n, R). e Denotemos por σx a c´ lula aberta associada a x ∈ FΘ∗ , e ´ onde FΘ∗ e a variedade dual a FΘ . Dado C ⊂ FΘ definimos o seu dual por
C ∗ = {x ∈ F∗ : C ⊂ σx}.
Θ

SW tem tipo parab´ lico RP2n−1. Com efeito, pelo Teoo
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rema 3 SW e {1}-maximal, j´ que a projecao [W ] de W em a ¸˜
´
´
RP2n−1 e B-convexo, int[W ] = ∅, fe(int[W ]) = [W ] e SW e o semigrupo de compress˜ o de [W ]. a Introducao
¸˜
Consideremos o sistema de controle
˙
x = (A + uB)x,

(1)

com A, B ∈ sl(2n) , x ∈ R2n e o controle u percorre os reais.
Um dos motivos para estudarmos a transitividade de semigrupos em variedades homogˆ neas est´ em sua aplicacao na e a
¸˜
controlabilidade de sistemas bilineares dessa forma. O semigrupo gerado pelo sistema descrito acima est´ contido no a ´ grupo Sl(2n, R) e e dado por
S = {eA+u1B . . . eA+umB : ui ∈ R, m ≥ 1}.

´
Dizemos que um conjunto C e B-convexo quando C ∗∗ = C.

´
Temos que o sistema e control´ vel em R2n −{0} se, e somente a ´ se, S e transitivo em R2n − {0}. Essa transitividade pode
´
ser relacionado com sua transitividade em RP2n−1, o qual e uma variedade homogˆ nea de Sl(2n, R). Assim surge uma e motivacao para nos dedicarmos a tal quest˜ o.
¸˜
a

Teorema 3 Um semigrupo S e Θ-maximal se e