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˜ A
` TOPOLOGIA
INTRODUC
¸ AO
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ALGEBRICA

Mauricio A. Vilches

Departamento de An´alise - IME
UERJ

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PREFACIO
˜ s˜ao homeomorfos ou
Um dos problemas b´asicos da Topologia e´ saber se dois espac¸os n˜ao. Na verdade n˜ao existem m´etodos gerais para resolver esta quest˜ao. Verificar se
˜ s˜ao homeomorfos consiste em encontrar uma func¸a˜ o cont´ınua, bijetiva dois espac¸os
˜ n˜ao com inversa cont´ınua, entre ambos os espac¸os. Agora provar que dois espac¸os s˜ao homeomorfos e´ muito mais complicado pois e´ necess´ario provar que n˜ao existe nenhuma func¸a˜ o cont´ınua, bijetiva com inversa cont´ınua, entre ambos os espac¸os.
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A Topologia Alg´ebrica naceu nas ultimas d´ecadas do s´eculo XIX, quando no ano de
1894 o eminente matem´atico francˆes Henri Poincar´e apresentou uma s´erie de trabalhos onde fundamentou a Topologia Alg´ebrica, com o nome de Analisys Situs. Dentre as descobertas de Poincar´e, destacam-se os conceitos de homotopia e de grupo fundamental, al´em de alguns teoremas, muitos dos quais somente foram provados muitos anos depois (1931), essencialmente por de de Rham. Poincar´e, entendeu que existia
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uma profunda relac¸a˜ o entre a estrutura topologica de um espac¸o e seu grupo fundamental. Ele, entre outras coisas, tentava estabelecer quando duas superf´ıcies s˜ao homeomorfas ou n˜ao.
A id´eia fundamental da Topologia Alg´ebrica e´ associar, de forma un´ıvoca a espac¸os
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e propriedades topologicas, estruturas e propriedades alg´ebricas. A vantagem deste
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tratamento e´ a riqueza que possui a Algebra, obtida atrav´es de milˆenios, o que n˜ao
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acontece com a Topologia. Por exemplo, nos espac¸os topologicos, os seus elementos n˜ao podem ser somados, j´a a soma de grupos e´ um grupo.
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˜ cont´ıNestas notas, que s˜ao introdutorias, associaremos a espac¸os topologicos, func¸oes nuas e homeomorfismos, grupos, homomorfismos de grupos e