Tensão1

8.0 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção. Nos capítulos precedentes aprendemos a computar os valores das tensões alcançadas em um certo ponto de uma dada seção de uma viga ou barra submetida a variados tipos de esforços solicitantes e suas combinações. Tais tensões são calculadas no plano da seção. Cabe indagar: - em outros planos, que não o da seção transversal, quais seriam os valores atingidos pelas componentes da tensão naqueles pontos?

8.1 – Estado Duplo de Tensões. Inicialmente estudaremos o caso mais simples (porém muito comum) de pontos submetidos a um estado duplo (ou plano) de tensões (quando σz = τzx = τzy = 0), sendo conhecidas as tensões: σx , σy e τxy = τyx .

Suponha um elemento infinitesimal submetido a um estado plano de tensões, como indicado na Fig. 8.1.1 (a) (onde todas as tensões foram supostas positivas). Em um plano qualquer (que tem como orientação a normal n), formando um ângulo θ com o plano “x” (que tem como normal o eixo x), as tensões reinantes serão designadas como: σn e τnt - Fig. 8.1.1 (b). Computando as forças reinantes nas faces do elemento prismático em referência, pode-se concluir, por seu equilíbrio nas direções normal (n) e tangencial (t) ao plano qualquer (θ) (Fig.8.1.1-c):

σn ds dz = σx dy dz cos θ + σy dx dz sen θ + τxy dy dz sen θ + τyx dx dz cos θ −−(ΣFn = 0)

Como τxy = τyx e, considerando que cos θ = dy/ds e sen θ = dx/ds, obteremos: σn = σx cos2 θ + σy sen2 θ + 2 τxy sen θ cos θ.................. (8.1.1)

Pelo equilíbrio das forças na direção transversal (t), da mesma forma, obteremos:

τnt = - (σx - σy) sen θ cos θ + τxy ( cos2 θ - sen2 θ) ................. (8.1.2)

Como: cos2 θ = ½ (1 + cos2θ); sen2 θ = ½ (1 - cos2θ); sen2θ = 2 senθ cosθ e cos2θ ’ cos2 θ - sen2 θ, obtemos σn = ½ (σx + σy) + ½ (σx - σy) cos 2θ + τxy sen 2θ ...............(8.1.3) e τnt = - ½ (σx - σy) sen 2θ + τxy cos 2θ