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11. Distribuição NormaI

A distribuição normal é a mais importante dentre as distribuições de variáveis contínuas. A função densidade é dada por:

onde (mi) é a média ,  (sigma) é o desvio-padrão , e = 2,71828 Representada graficamente, uma variável que tem distribuição normal, sugere o aspecto de um sino (curva de Gauss).
A distribuição normal é importante porque muitas variáveis seguem esta distribuição. Ela pode ser usada como aproximação da distribuições binomial (média igual a np e variância npq) e de Poisson (média igual a  e variância igual a ). Na distribuição normal:
a) variável aleatória X pode assumir qualquer valor real;
b) a curva é simétrica em torno da média;
c) a área total sob a curva é igual a 1;
d)- a probabilidade de ocorrência de um valor acima ou abaixo da média é 0,5 isto é: O cálculo da probabilidade , corresponde a determinação da área sob a curva normal entre os pontos a e b. Para isso, utilizamos uma distribuição normal em particular onde µ = 0 e de  = 1, denominada distribuição normal padrão.
Uma variável X, com distribuição normal de média µ e desvio padrão  pode ser convertido em uma variável reduzida z com distribuição normal de média µ = 0 e  =1 , através da expressão:

Para o caso da distribuição normal de média µ= 0 e variância ² = 1 existe uma tabela, apresentada ao final deste capítulo.

Exemplo 1. Seja X a nota de matemática, uma variável com distribuição normal de média µ=70 e desvio-padrão =20. Qual é a probabilidade de um aluno tirar uma nota entre 70 e 90?

Nesse caso pretende-se calcular:

Sem o uso da variável reduzida e da tabela, a determinação dessa probabilidade seria difícil, exigindo o cálculo da área sob a curva normal entre 70 e 90. Utilizando a variável reduzida:

para x=:70 para x=90 ,00 ,00

Assim, calcular a probabilidade de que X esteja no intervalo de 70 a 90, corresponde a probabilidade de que a variável Z esteja no intervalo