Romeu e julieta

XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática
GABARITO Segunda Fase

Soluções Nível 1 – Segunda Fase – Parte A

CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A

Na parte A serão atribuídos 5 pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa parte será 30. NENHUM PONTO deverá ser atribuído para respostas que não coincidirem com o gabarito oficial, abaixo:

|Problema |01 |02 |03 |04 |05 |06 |
|Resposta |0030 |0819 |0160 |0009 |0045 |0120 |

01. [Resposta: 0030]
Solução: Áurea levou 45 min entre A e B, passando por um ponto a cada 3 min.
Assim o número de pontos em que o ônibus parou após sair do terminal A é[pic], e a distância entre os terminais é [pic]= 30 km.

02. [Resposta: 0819]
Solução: Os números somados são XXXX = 1000X + 100X + 10X + X = 1111X, YYYY = 1111Y e ZZZZ = 1111Z, e o resultado da soma é YXXXZ = 10000Y + 1110X + Z. Logo 1111X + 1111Y + 1111Z = 10000Y + 1110X + Z ( 8889Y = 1110Z + X = ZZZX. O número ZZZX tem quatro algarismos, logo Y só pode ser igual a 1, Z = 8 e X = 9. Assim ZYX = 819.

03. [Resposta: 0160]
Solução: Sendo a e b os lados do triângulo e do hexágono, respectivamente, temos 3a = 6b ( a = 2b. O hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado b e o triângulo equilátero de lado a = 2b pode ser dividido em 4 triângulos equiláteros de lado b.
[pic]
A área do triângulo equilátero de lado a é, então, [pic] da área do hexágono, ou seja, [pic]cm2.

04. [Resposta: 0009]
Solução: Podemos dividir o retângulo em 9 quadrados como mostra a figura abaixo:

Pode-se verificar que não é possível fazer uma divisão em 8 ou menos quadrados.

05. [Resposta: 0045]
Solução: Primeiro note que só vale colocar parênteses logo depois de sinais de –, já que se o fizermos em frente ao sinal de + não alteramos o resultado.

Ao efetuarmos os parênteses, o 2 terá sinal de – necessariamente. Suponha que não colocamos