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MatemáticaRELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMETRIA
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
2. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1. RELAÇÕES MÉTRICAS
Seja o triângulo retângulo abaixo:
Dado o triângulo retângulo ABC abaixo:
B
A
b
C
c
h
n
m
B
a
Temos:
c e b são os catetos; a é a hipotenusa;
A
h é a altura relativa a hipotenusa a ; m é projeção ortogonal do cateto c projeção ortogonal do cateto b .
e
n
b e c são as medidas dos catetos.
Definimos:
Seno de um ângulo agudo
É a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
a 2 = b2 + c 2
No
temos:
b sen Cˆ = a e
Considere o seguinte triangulo:
c⋅h = b⋅m
e
acima
Exemplo:
B
O quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto correspondente:
c2 = a ⋅ m
triangulo
c sen Bˆ = . a O produto de um dos catetos pela altura é igual ao produto do outro cateto pela projeção do primeiro cateto sobre a hipotenusa: e C
c
Temos: a é a medida da hipotenusa;
é a
Temos as seguintes relações:
Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos:
b⋅h = c⋅n
a
b
b2 = a ⋅ n
5
4
O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções de cada cateto:
h2 = m ⋅ n
A
O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela:
Determine
sen Cˆ
4 sen Cˆ =
5
b⋅c = a⋅h
C
3
sen Bˆ .
e e 3 sen Bˆ =
5
Cosseno de um ângulo agudo
É a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Editora Exato
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Matemática
B
cateto adjacente
;
hipotenusa cateto oposto tgx =
.
cateto adjacente
cos x =
a
b
3. ÂNGULOS NOTÁVEIS (30°, 45°, 60°)
Podemos encontrar os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30°, 45° e 60° através da tabela abaixo:
A
30°
1
2
C
c
Seno
No triângulo, temos:
c cos Cˆ = a e
b cos Bˆ = a Cosseno
Exemplo:
No triangulo abaixo determine
cos Cˆ
e
3
2
3
3
Tangente
cos Bˆ
45°
2
2
2