Resumo álgebra de conjuntos renata de freitas e petrucio viana

Álgebra de Conjuntos
Renata de Freitas e Petrucio Viana

Dados:
Letras maiúsculas:
A,B,C
A1 , B1 , C1
An , Bn , Cn

Símbolos para operações:
∩, ∪, −

- Expressões envolvendo letras e símbolos para operações
- Igualdade e inclusões entre essas operações

Problema:
Identificar igualdades e inclusões que são verdadeiras para quaisquer conjuntos A,B,C

Provas Algébricas:
Escolher um repertorio de igualdades e inclusões que são intuitivamente verdadeiras para quaisquer conjuntos A,B,C
Provar as outras igualdades e inclusões a partir daquelas listadas acima usando propriedades básicas da igualdade e inclusão

Igualdades e inclusões intuitivamente verdadeiras para quaisquer conjuntos A,B,C
Associatividade de ∩ e de ∪:
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C

Comutatividade de ∩ e de ∪:
A∩B =B ∩A
A∪B =B ∪A

Idempôtencia de ∩ e de ∪:
A∩A=A
A∪A=A

Elemento neutro de ∩ e de ∪:
A∩U =A
A∪∅=A

Elemento zero de ∩ e de ∪:
A∩∅=∅
A∪U =U

Distributividade de ∩ sobre ∪, e de ∪ sobre ∩:
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

Propriedades básicas da igualdade (A, B, C):

Reflexividade:
A = A.

Simetria:
Se A = B, então B = A.

Transitividade:
Se A = B e B = C , então A = C .

Substitutividade:
Se A = B, então se substituimos qualquer ocorrência de A por uma ocorrência de B em uma expressão C , obtendo uma expressão C [A ← B], temos que C [A ← B] ⊆ C .

Propriedades básicas da inclusão (A, B, C ):

Reflexividade:
A ⊆ A.

Antissimetria:
Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B.

Transitividade:
Se A ⊆ B e B ⊆ C , então A ⊆ C .

Dados os conjuntos A e B, tais que A = B, uma prova algébrica da igualdade deve seguir o seguinte modelo de redação:

onde “(justificativa i)” é uma indicação de quais propriedades básicas ou hipóteses do problema justificam a igualdade na linha i.

Dados os conjuntos A e B, tais que A ⊆ B, uma prova algébrica da inclusão deve seguir o seguinte modelo de