Resumo de Qudricas

Superfícies Quádricas (Resumo)
Seja a equação de 2º grau a três variáveis
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0, onde A, B, C, D, E, F, G, H, I e J são constantes reais tais que A, B, C, D, E, ou F é diferente de zero, e x, y, z são variáveis reais.
As superfícies quádricas (ou simplesmente quádricas) são superfícies dadas pelas equações de 2º grau a três variáveis acima, onde cada quádrica tem sua equação padrão dada pela tabela seguinte:
Superficie

Equação Padrão

x2 + y2 + z2 = r2

Esfera
Elipsóide

x2

+

a2

Hiperbolóide de uma folha

x2

+

a2

Hiperbolóide de duas folhas

x2

−

a2

Parabolóide elíptico

x2 a2 Parabolóide Hiperbólico

x2 a2 Cone

x2 a Cilindro Reto

Base circular
Base elíptica
Base Parabólica
Base Hiperbólica

2

y2

+

b2 y2 −

b2 y2 −

b2
+
−
+

y2 b2 y2 b2 y2 b 2

z2

=1

c2 z2 c2 z2 c2

=1
=1

= ±z
=z
= z2

Equação do círculo
Equação da elipse
Equação da Parábola
Equação da Hipérbole

Obs: A equação x2 + y2 = 1 em 2 , por exemplo, representa uma circunferência centrada na origem de raio unitário. Entretanto, esta mesma equação em 3 representa um cilindro circular reto de base na circunferência cuja equação em 2 é x2 + y2 = 1 (Ver figura abaixo). Desse modo, o cilindro cuja base é uma elipse será chamado de cilindro elíptico.

Elipsóide:

x2 a2 +

y2 b2 +

z2 c2 =1

Hiperbolóide de Duas folhas:

Parabolóide Hiperbólico:

x2 a2 Cilindro de Base Parabólica

Hiperbolóide de Uma Folha:

x2 a2 −

−

y2 b2 y2 b2 =z

−

z2 c2 =1

Parabolóide Elíptico:

Cone:

x2 a2 +

y2 b2 x2 a2 +

x2 a2 y2 b2 = z2

Cilindro de Base Hiperbólica

+

= ±z

y2 b2 −

z2 c2 =1