Resolução exercício ResMat

Resistência dos Materiais - ME4620
Resolução do exercício 2.10 - 3

Objetivo
Calcular o deslocamento da extremidade da barra de aço da figura abaixo por integral e divisão de partes, considerando e desconsiderando seu peso próprio.

São dados:
P= 1800 kN
L= 500 mm ρ aço= 7,85 g/cm³

E aço= 210 GPa r1= 50 mm r2= 100 mm

Cálculos e Gráficos

A- Desconsiderando o peso da barra
1) Por integração
O raio da área transversal da barra varia de acordo com a função r(x)= -0,1x+100. Sendo assim, pode-se dizer que a área varia de acordo com a função A(x)= π (-0,1x+100)²

Variação do raio (r) ao longo do comprimento da barra(x)
150
Variação do raio (r) ao longo do comprimento da barra(x) 100

50
0
0

200

400

600

L

L

Deslocamento => δ=∫o [P/E*A(x)]dx = ∫o [1800000/210000*A(x)]dx = 0,272837 mm
Deslocamento real
0,272837 mm

2) Por partes
*Para a obtenção dos seguintes deslocamentos foi usada a fórmula δ=( P*L)/(E*A)
I)

Em 3 partes:

Comprimento de cada parte: L=166,666667 mm
Parte

x

rmédio

1
2
3

δi

166,666667
333,333334
500

91,66666665
74,99999995
58,3333333

0,054116433
0,080840597
0,133634457

∑δi=

Deslocamento (mm)
0,268591

II)

0,268591487

Diferença
1,581 %

Em 5 partes:

Comprimento de cada parte: L=100 mm
Parte

x
1
2
3
4
5

rmédio
100
200
300
400
500

95
85
75
65
55
∑δi=

Deslocamento (mm)
0,271269

δi

Diferença
0,578%

0,030231248
0,037762909
0,048504358
0,064576808
0,090194055
0,271269378

III)

Em 100 partes:

Comprimento de cada parte: L=5 mm
Parte

x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

rmédio
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
...
440
445
450
455
460
465
470
475
480
485
490
495
500

99,75
99,25
98,75
98,25
97,75
97,25
96,75
96,25
95,75
95,25
...
56,25
55,75
55,25
54,75
54,25
53,75
53,25
52,75
52,25
51,75