QUEST2PART1

Trabalho 1, Questão2:
2) A base do método chamado Fatoração ou Decomposição LU, está apoiada na simplicidade de resolução de sistemas triangulares. Seja o sistema linear Ax = b, o processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matiz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida ,resolver um sequência de sistemas lineares que nos conduzirá a solução dos sistema linear original. Tal processo geral de eliminação é conhecida como método de Crout
(ou Cholesky para o caso particular de matrizes simétricas positivas definidas). A matriz A pode ser decomposta no produto A=LU, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior, quando a matriz for não singular (Det (A) ≠ 0). Além disso, se atribuirmos valores fixos aos elementos da diagonal, seja de L (lii = 1 no Método de Doolitle) ou em U (uii = 1 no Método de Crout), esta decomposição será única.
Suponhamos que seja possível fatorar a matriz A dos coeficientes num produto de uma matriz triangular inferior com diagonal unitária L e uma matriz triangular superior U, isto é: A = LU.
Nestas condições, o sistema Ax = b pode ser reescrito na forma LUx = b, o que permite o desmembramento em dois sistemas triangulares
Ly = b e Ux = y. Resolvendo o primeiro sistema, calculamos y que, usado no segundo sistema, fornecerá o vetor procurado x. Dessa maneira, conhecidas L e U, o sistema será resolvido com 2n2 operações (dois sistemas triangulares), o que representa um ganho substancial comparado com as 2n3/3 operações do método de eliminação de Gauss.