q4ad2resolucao 2051 1

AD2 – Quest˜ ao 4 – Gabarito
a) (1.5 pt) Quatro pessoas foram a uma lanchonete e consumiram 1 pastel integral e 1 suco natural, cada uma, gastando um total de 40, 00 reais. Em um outro dia, uma dessas pessoas voltou `a lanchonete e comprou 6 pasteis integrais e 4 sucos naturais para viagem, quando, ent˜ao, gastou
54, 50 reais. Qual a diferen¸ca entre os pre¸cos do pastel integral e do suco natural?
Solu¸c˜
ao: Chamando pelas letras x e y os pre¸cos do pastel integral e do suco natural, respectivamente, temos o sistema:
4x + 4y = 40
6x + 4y = 54, 50.
Da´ı, multiplicando a primeira equa¸c˜ao deste sistema por −1 e somando suas duas equa¸c˜oes vem:
−4x − 4y = −40
6x + 4y = 54, 50

2x + 0y = 14, 50.
Assim,
2x = 14, 50 ⇐⇒ x =

14, 50
= 7, 25 reais.
2

Levando este valor de x na primeira equa¸c˜ao do sistema, temos:
4 · 7, 25 + 4y = 40 ⇐⇒ 29 + 4y = 40 ⇐⇒ 4y = 40 − 29 = 11 ⇐⇒ y =

11
= 2, 75 reais.
4

Logo, a diferen¸ca entre os pre¸cos do pastel integral e do suco natural ser´a dada pela diferen¸ca entre x e y, isto ´e, x − y = 7, 25 − 2, 75 = 4, 50 reais.

b) (1,0 pt) Pedro pensou em um n´umero maior que 10 e menor que 80. A soma de seus algarismos
´e 15 e o produto de seus algarismos ´e 56. Qual ´e esse n´umero?
Solu¸c˜
ao: Seja N este n´umero que Pedro pensou, tal que 10 < N < 80. Sejam x e y os algarismos que formam este n´umero N. Temos que: x + y = 15 xy = 56.
Substituindo na segunda equa¸c˜ao do sistema acima o valor de y obtido na primeira equa¸c˜ao, temos: x(15 − x) = 56 ⇐⇒ 15x − x2 = 56
⇐⇒ x2 − 15x + 56 = 0
⇐⇒ x =

15 ±

(−15)2 − 4(56)
15 ±
=
2

√
√
225 − 224
15 ± 1
15 ± 1
=
=
.
2
2
2

M´ etodos Determin´ısticos I

Da´ı, x1 =

AD2 - quest˜ ao 3

2

15 + 1
16
15 − 1
14
=
= 8 ou x2 =
=
= 7.
2
2
2
2

Levando estes dois valores de x para a primeira equa¸c˜ao, vem que y1 = 15 − x1 = 15 − 8 = 7 e y2 = 15 − x2 = 15 − 7 = 8.
Consequentemente, N poder´a ser o n´umero 87 ou o n´umero 78.
Como 10 < N < 80, N = 78.

Funda¸c˜ ao CECIERJ

Cons´ orcio CEDERJ