Prova1 calculoII 2015 1 solucao

Solução da 1a Avaliação de Cálculo II - 22/04/2015
Curso: Ciência da Computação
1♠

aq Temos que: ż ż ż lnpcos xq sen x lnpcos xqdx “ sen xdx tg x lnpcos xqdx “ cos x cos x
Fazendo u “ cos x, tem-se du “ ´ sen xdx e daí sen xdx “ ´du.
Assim,
ż ż ln u du tg x lnpcos xqdx “ ´ u 1
Agora, fazendo w “ ln u, temos dw “ du. u Daí, ż ż ż w2 ln u du “ ´ wdw “ ´ ` k “ tg x lnpcos xqdx “ ´ u 2
2
2 pln uq rlnpcos xqs
“ ´
`k “´
`k
2
2
?
1
1 bq Fazendo u “ x ` 1, temos que du “ ? dx e daí ? dx “ 2du
2 x x Assim, a? ż ż a?
?
4 p x ` 1q3 x`1 2 3{2
?
dx “ 2
`k
udu “ 2 ¨ u ` k “ x 3
3
cq Fazendo u “ ex , temos que du “ ex dx.
Assim,
ż ż ż ex 1 ex dx
“
dx
“
du “ e2x ` 4 ex ¨ ex ` 4 u2 ` 4 ˆ ˙
´u¯
ex
1
1
` k “ arctg
`k
“ arctg 2
2
2
2
1 dq Fazendo u “ x2 , temos que x4 “ u2 e du “ 2xdx (daí xdx “ du).
2
Assim, ż ż
1
1
1
x
1
?
?
dx
“
du
“
arcsen u ` k “ arcsenpx2 q ` k
4
2
2
2
2
1´x
1´u
eq Temos que: ż ż ż 1 p1 ` tg xq3 dx “ p1 ` tg xq3 ¨ dx “ p1 ` tg xq3 sec2 xdx
2
2 cos x cos x
Fazendo u “ 1 ` tg x, temos que du “ sec2 xdx.

Assim, ż p1 ` tg xq3 dx “ cos2 x

ż

u3 du “

u4 p1 ` tg xq4
`k “
`k
4
4

fq Completando quadrado no denominador, temos: ż ż ż 1
1
1 dx “ dx “ dx x2 ` 6x ` 11 x2 ` 6x ` 32 ´ 32 ` 11 px ` 3q2 ` 2
Fazendo u “ x ` 3, temos que du “ dx.
Assim,
ż ż ż ż 1
1
1
1
? du dx “ dx “ du “ x2 ` 6x ` 11 px ` 3q2 ` 2 u2 ` 2 u2 ` p 2q2
ˆ ˙
ˆ
˙ u x`3
1
1
` k “ ? arctg ?
`k
“ ? arctg ?
2
2
2
2
2♠

1 aq Fazendo u “ x2 ` 4, temos que du “ 2xdx e daí xdx “ du. Além disso,
2
u “ 5 quando x “ 1 e u “ 20 quando x “ 4.
Assim,
„
20
ż4 ? ż 20
?
1
1
1 ? 3 ? 3
1 ?
2
udu “
“
x x2 ` 4dx “
“ r u3 s20 u3{2 p 20 ´ 5 q “
5
2 5
2 3
3
3
1
5
?
?
?
?
1
1 ?
35 5
“ p20 20 ´ 5 5q “ p40 5 ´ 5 5q “
3
3
3
bq Temos que:
" 2
" 2
2
x ´ 1 , se x ď ´1 ou x ě 1 x ´
1
, se x
´
1 ě 0
“
|x2 ´1| “
2
2
´x2 ` 1 , se ´ 1 ă x ă 1
´x ` 1 , se x ´ 1 ă 0
Assim,
ż2 ż1 ż ´1 ż2 2
2
2 p´x ` 1qdx ` px2 ´ 1qdx “ px ´ 1qdx `
|x ´ 1|dx “
1
´1
´2
´2
„ 3
´1 „ 3
1
2
„ 3 x x x ` ´ `x
`
´x
´x “
“
3
3
3
´2
ˆ
˙
ˆ
˙ ´1ˆ
˙ 1ˆ
˙
1
1
8
1