Prova de física matematica

1º Prova de Física Matemática II
Felipe Oliveira Franco 1 de Abril de 2013

1. Considere

dl2 =

dx2 +dy 2 +dz 2 x2

Sabemos que o elemento de arco em coordenadas curvilíneas é escrito como dl =
2

h2 du2 1 1

+

h2 du2 2 2

+

h2 du2 3 3

=⇒

 h1 =  h =  2  h3 =

1 x 1 x 1 x

coecientes de Lame

A partir destes coecientes de Lame podemos descrever as características deste tipo de coordenadas. O jacobiano em coordenadas cilindrícas é escrito como
J= ∏ ∂(x, y, z) = hi = h1 h2 h3 ∂(u1 , u2 , u3 ) i=1
3

=⇒ J =

1 x3

O gradiente de uma função escalar φ
∇φ = 1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ e1 + e2 + e3 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 =⇒ ∇φ = x ∂φ ∂φ ∂φ i+x j+x k ∂x ∂y ∂z ( ) ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = x i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ( ) ( ) ( )] ∂ A1 ∂ A2 ∂ A3 ∇·A=x + + ∂x x2 ∂y x2 ∂z x2 [ ] 1 ∂A1 A1 1 ∂A2 1 ∂A3 3 ∇·A=x −2 3 + 2 + 2 x2 ∂x x x ∂y x ∂z ∂A1 ∂A2 ∂A3 ∇·A=x − 2A1 + x +x ∂x ∂y ∂z ( ) ∂A1 ∂A2 ∂A3 ∇ · A = −2A1 + x + + ∂x ∂y ∂z
3

O divergente de um campo vetorial A

[ ] 1 ∂ ∂ ∂ ∇·A= (h2 h3 A1 ) + (h1 h3 A2 ) + (h1 h2 A3 ) =⇒ h1 h2 h3 ∂x ∂y ∂z

[

O rotacional de um campo vetorial A
1 ∇×A= h2 h3 { ∂ (h3 A3 ) ∂ (h2 A2 ) − ∂u2 ∂u3

}

1 e1 + h1 h3

{

∂ (h1 A1 ) ∂ (h3 A3 ) − ∂u3 ∂u1

}

1 e2 + h1 h2

{

∂ (h2 A2 ) ∂ (h1 A1 ) − ∂u1 ∂u2

} e3

1

∇×A

= = = =

( ) ( )} { ( ) ( )} { ( ) ( )} ∂ A3 ∂ A2 ∂ A1 ∂ A3 ∂ A2 ∂ A1 2 2 x − i+x − j+x − k ∂y x ∂z x ∂z x ∂x x ∂x x ∂y x { } { [ ]} {[ ] } 1 ∂A3 1 ∂A2 1 ∂A1 1 ∂A3 1 1 ∂A2 1 1 ∂A1 x2 − i + x2 − − A3 2 j + x2 − A2 2 − k x ∂y x ∂z x ∂z x ∂x x x ∂x x x ∂y } { } { } { ∂A2 ∂A3 ∂A2 ∂A1 ∂A3 1 ∂A1 1 x − i+x − + A3 j + x − − A2 k ∂y ∂z ∂z ∂x x ∂x ∂y x [{ } { } { } ] ∂A3 ∂A2 ∂A1 ∂A3 1 ∂A2 ∂A1 1 =x − i+ − + A3 j + − − A2 k ∂y ∂z ∂z ∂x x ∂x ∂y x
2

{

E o Laplaciano
1 ∇ φ= h1 h2 h2
2

{

∂ ∂u1

(

h2 h3 ∂φ h1 ∂u1

)

∂ + ∂u2

(

h1 h3 ∂φ h2 ∂u2

)

∂ + ∂u3

(

h1 h2 ∂φ h3 ∂u3

)}

∇2 φ = x3

( ) ( ) ( )} 1 ∂φ ∂ 1 ∂φ ∂ 1 ∂φ ∂ + + ∂x x ∂x ∂y x ∂y ∂z x ∂z { } 2 2 1