Prova Cálculo 1 Respondida

RESPOSTAS DA AVALIAÇÃO 1

1. (2,0)
(a) Para a função ser definida devemos ter 4 − z 2 > 0, ou seja,
−2 < z < 2. Daí,
D(f) = (−2, 2).
√
√
Agora, observe que se z = 0 então 4 − z 2 = 4 − 4 = 0,
1
ou seja, g(0) = . Para qualquer outro número entre −2 e 2,
2
√
4 − z 2 terá como resultado um número positivo menor do que
1
1
2, isto é, √
> . Logo,
2
4 − z2
Imf =

1
,∞ .
2

(b) Pela regra que define a função observamos que a mesma está definida para todos os valores reais. Logo
Df = R.
Agora, para x ≤ 1, todos os valores reais não negativos são assumidos, pois f(x) = x 2 . Como para x > 1 a função é f(x) =
3x − 1 resulta também em um número positivo, concluimos que x −1
Imf = [0, ∞).
2. (2,0)
(a) Como y = f(x) = x 2 + 1, x ≥ 0, é injetiva podemos determinar sua inversa. Trocando as posições de y e x, obtemos x = y2 + 1, ou seja, y2 = x − 1, donde
√
y = f −1 (x) = x − 1, x ≥ 0.
(b) Temos,
(f ◦ f

−1

√
)(x) = f(f (x)) = f( x − 1)
√
= ( x − 1)2 + 1 = x − 1 + 1
= x
−1

e
(f −1 ◦ f)(x) = f −1 (f(x)) = f −1 (x 2 + 1)
√
2 + 1) − 1 =
=
(x x2 = x
Portanto, (f ◦ f −1 )(x) = (f −1 ◦ f)(x).
3. (3,0)
(a)
√ lim x→2

√
√
3x − 2 − 2
3x − 2 + 2
·√
2x − 4
3x − 2 + 2
3x − 2 − 4
√
lim x→2 (2x − 4)( 3x − 2 + 2)
3x − 6
√
lim x→2 (2x − 4)( 3x − 2 + 2)
3(x − 2)
√
2(x − 2)( 3x − 2 + 2)
3
1 lim √
2 x→2 ( 3x − 2 + 2)
3
3 1
1
3
= · = .
·√
2
2 4
8
3·2−2+2

3x − 2 − 2
= lim x→2 2x − 4
=
=
=
=
=

(b) sen3x − 5x sen3x 5x
= lim
− lim x→0 x→0 3x x→0 3x
3x
2
5
= 1− =− .
3
3 lim (c) Sabendo que as raízes de 3x 2 − 12 são ±2 e as raízes de
2x 2 + 3x − 2 são −2 e 1/2, temos
3(x + 2)(x − 2) x→−2 2(x + 2)(x − 1/2)
3(x − 2)
3
x −2
= lim
= lim x→−2 2(x − 1/2)
2 x→−2 x − 1/2
3 (−2 − 2)
3 (−4)
12
=
·
= ·
= .
2 (−2 − 1/2)
2 (−5/2)
5

3x 2 − 12
=
x→−2 2x 2 + 3x − 2 lim lim

4. (1,0) Note que
1
1/x 2 lim = lim
= 0. x→±∞ x 2 − 4 x→±∞ 1 − 4/x 2
3