Prova calculo 3 area 2 ufpe

Departamento de Matemática – CCEN – UFPE 19 de julho de 2004 CÁLCULO III – ÁREA II – 1º Semestre de 2004 – 2º Exercício Escolar RESOLUÇÃO DA PROVA 1. Dada a superfície parametrizada σ (u , v) = ( u cos v, u senv, v ) com
0 ≤ u ≤ 3 e 0 ≤ v ≤ π , calcule

∫∫ 3 σ

x 2 + y 2 dS .

(2,0)

Resolução:

∂σ ∂σ = ( −u sen v, u cos v,1) . = ( cos v, sen v, 0 ) e ∂u ∂v ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ × = 1+ u2 × = ( sen v, − cos v, u ) , elemento de área ∂u ∂v ∂u ∂v σ 0≤u ≤ 3 0 ≤ v ≤π

2 2 ∫∫ 3 x + y dS =

∫∫
3

3

( u cos v ) + ( u sen v )
2

2

⋅ 1 + u 2 dudv
3
3 2

∫∫ 3 σ
∫∫ 3 σ

x 2 + y 2 dS = ∫ ∫ 3u ⋅ 1 + u 2 dudv = ∫ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ (1 + u 2 ) 3 2
0 0

π

π

dv
0

x + y dS = ∫ 1 + 3
2 2 0

π

(

2

) − (1 + 0 ) dv = ∫ 7dv =
3 2

0

2

3 2

π

7π

0

2. Considere o campo vetorial F ( x, y, z ) = y( sen z − 1)i e S a porção do parabolóide z = 1 − x2 − y 2 acima do plano z = 0 .
(1,0) a) Parametrize a superfície S. Resolução: Podemos usar que a superfície é o gráfico de uma função. ⎧u = r cos θ , ⎨ ⎩v = r senθ

r

r

σ 1 (u, v) = ( u, v,1 − u 2 − v 2 ) , com u 2 + v 2 ≤ 1 . Ou coordenadas polares σ 2 (r ,θ ) = ( r cosθ , r senθ ,1 − r 2 ) , com r 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π

b)

Calcule o fluxo do rotacional de F através da superfície S com a normal apontando para cima. (2,0) Resolução: Usaremos o Teorema de Stokes, observando que a fronteira de S é a curva α (t ) = (cos t , sen t , 0) , com 0 ≤ θ ≤ 2π e α ′(t ) = (− sen t , cos t , 0)
2π 2π ur r 2π 1 − cos 2t t sen 2t F ⋅ d r = ∫ sen t ⋅ ( sen 0 − 1) ⋅ (− sen t ) dt = ∫ sen 2t dt = ∫ dt = − ∫ 2 2 4 α 0 0 0 2π

ur r ∫∫ Rot F ⋅ n dS =
S

= π
0

3. Sejam S a fronteira da região {( x, y, z ) ∈

3

x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 ≤ z ≤ 2

r e o campo F ( x, y, z ) = x 2 sen2 y − z Arctg y , x ( z 3 + cos 2 y ) , x 2 y 2 + x 2 z 2 + y 2 z 2 . r Calcule o fluxo de F que sai da superfície S (normal exterior). (2,5)

(

)

}

Resolução: Usaremos o