proporçoes de eudoxo

Junio de 2005, Número 2, páginas 91 - 110
ISSN: 1815-0640

As duas maiores contribuições de Eudoxo de Cnido
«a teoria das proporções e o método de exaustão»
Vincenzo Bongiovanni
PUC-SP

Introdução
Para os pitagóricos, todas as grandezas (comprimento, área, volume,...) podiam ser associadas a um número inteiro ou a uma razão entre dois números inteiros. Admitiam que os números racionais eram suficientes para comparar, por exemplo, segmentos quaisquer de reta. Dados dois segmentos, supunham que existia sempre um segmento que “cabia” um número inteiro de vezes num deles e um número inteiro de vezes no outro. Nesse caso, os segmentos eram comensuráveis. Em notação moderna, dizer que os dois segmentos AB e CD são comensuráveis significa dizer que existe um segmento u e dois naturais m e n tais que AB=nu e CD=mu. Num dado momento da história, descobriu-se a existência de grandezas incomensuráveis.

Essa

descoberta

marcou

profundamente

o

desenvolvimento da matemática grega. Vitruvius (século I a.C), na sua obra Dez livros de arquitetura, o mais antigo texto sobre a história da matemática que chegou até os nossos tempos em sua versão original, atribui a Pitágoras e a seus discípulos a descoberta de grandezas incomensuráveis. Mais tarde Proclus (420-485 D.C) no prólogo do livro Os comentários sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides atribui também tal descoberta à escola pitágórica. Esse fato destruiu a crença de que o universo era governado por números inteiros. Alguns historiadores associam o aparecimento de grandezas incomensuráveis com a aplicação do teorema de
Pitágoras no triângulo retângulo em que a hipotenusa é a diagonal de um quadrado e os catetos são os lados do quadrado.

As duas maiores contribuições de Eudoxo de Cnido
«a teoria das proporções e o método de exaustão»
Vincenzo Bongiovanni

Aristóteles refere-se a uma demonstração onde se supõe que a diagonal e o lado do quadrado são comensuráveis