Propor O Urea Grega

A PROPORÇÃO NA GRÉCIA ANTIGA
Ricardo Normando Baptista do Nascimento Neto
Professor de Matemática da SEE-PE e Sec. Ed. Recife [e-mail] Fernando Raul Neto (Orientador) – UFPE [e-mail] Este mini-curso tem como objetivos mostrar como era entendida as grandezas proporcionais pelos pitagóricos, o problema das grandezas incomensuráveis, a solução deste problema por Eudoxo, uma contextualização da definição de Eudoxo para grandezas proporcionais e, por último, demonstrar o teorema de Tales segundo a definição de proporção de Eudoxo.
1. Um exemplo de aplicação – O teorema de Tales
Uma demonstração à época de Pitágoras e que podemos também encontrá-la em alguns livros de geometria elementar, seria a seguinte: considere as retas paralelas r, s e t interceptadas pelas transversais m e n nos pontos A, B, C, A’, B’ e C’, como mostra a figura 1.1:

A’

A

r
B’

B

s

C

C’

m

n

t

Figura 1.1
Seja x um segmento que cabe p vezes em AB e q vezes em BC, onde p e q são números inteiros.

Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática

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Temos então: AB = p.x e BC = q.x. Marcando os pontos de divisão nos segmentos
AB e BC e conduzindo por eles outras retas paralelas ao feixe, determinaremos p segmentos x’ em A’B’ e q segmentos x’ em B’C’.
Estabelecendo a razão

AB
AB p.x
, temos:
=
BC
BC q.x

Estabelecendo a razão

A' B'
A' B'
p.x'
A' B' p , temos:
=
⇒
= . (2)
B' C'
B' C' q.x'
B' C' q ⇒

Donde, comparando as igualdades (1) e (2), vem:

AB p
= . (1)
BC q

AB A' B'
=
. E assim o
BC B' C'

teorema (no entendimento deles) estaria demonstrado1.
2. O Problema

A matemática da época de Platão estava diante de um sério problema: as grandezas incomensuráveis já haviam sido descobertas pelos próprios pitagóricos.
Todos os esforços estavam voltados para resolver o problema que se impunha no momento: comparar duas grandezas para as quais não havia uma razão entre dois inteiros que pudesse representá-las, ou seja, duas