produto_escalar

EETI – Escola de
Engenharia e TI

PRODUTO ESCALAR

PRODUTO ESCALAR
Definição Algébrica
Chama-se produto escalar de dois vetores

u  x1 i  y1 j  z1 k ao número real

e

v  x2 i  y 2 j  z 2 k

u.v  x1 x2  y1 y 2  z1 z 2

Representa-se por

u.v ou

u, v

,

Propriedades do Produto Escalar
Sejam u, v e w vetores quaisquer e t um número real. 1)v.u = u.v
2)t(v.u) = (tv).u = v.(tu)
3)u.(v+w) = u.v + u.w
4)u.u = |u|2
5)u.v = 0 se e somente se u é ortogonal a v.

Exemplo:

1) Dados os vetores u=(3,5,8) e v=(-1,7,-2) calcule:
a) u.v =
b) (u+v).(2u-v)=

c) u.u=

2) Dados os vetores u= (4,a,-1) e v=(a,2,3) e os pontos A(4,-1,2) e B(3,2,-1), determine o valor de a tal que u.(v+BA)=5

Exemplo:
1) Sendo |u|=4, |v|=2 e u.v=3, calcular:

a) (3u-2v).(-u+4v)

b)

uv

2

Ângulo entre vetores
Dados dois vetores u e v , não nulos, e escolhido um ponto O qualquer, podemos escrever:
A

u

A = O + u e B = O + v.
O

v

Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AOB determinado pelas semi-retas OA e OB.

B

^

Ângulo entre vetores
Indicamos o ângulo entre os vetores AÔB = (u ,v) , onde

0  (u, v)  
Observe que se ( u ,v ) = 0 , os vetores u e v tem o mesmo
.
sentido e se ( u, v ) = π , estes vetores tem sentidos contrários

Definição Geométrica de Produto Escalar
Sejam u e v vetores não nulos e (u,v) o ângulo entre eles, então:

u . v = | u ||v |cos( u , v )
Se um dos vetores for nulo temos u.v = 0

Exemplo
1) Sendo |u|=2, |v|=3 e 120° o ângulo entre u e v, calcular:
a)u.v
a)|u+v|
2) Se u=(-2,3,4) e v=(1,-1,1) determine o ângulo entre u e v.

COSSENOS DIRETORES
Fixada uma base ortonormal {i,j,k}, chamamos cossenos diretores de um vetor u≠0, os cossenos dos ângulos que v forma com os vetores desta base.
Considere u=(x,y,z),

=(v,i) ,

= (v,j) e

=(v,k)

Cálculo dos cossenos diretores
• Cosα =
• Cosβ=

• Cosγ=

Exemplo:
1) Calcular os ângulos diretores de v=(1,-1,0);
2) As ângulos diretores de um vetor são α, 45° e
60°. Determine α.
3) Calcule o vetor u sendo