praticasiii

Pr´aticas III
Per´ıodo de 2015.1 - Prof. Fernando Carneiro
Semelhan¸
cas
1) Seja o retˆ angulo ABDC de diagonais AC e BD.
Seja M o ponto m´ edio de AB e N e P os pontos que dividem CD em trˆ es partes iguais. Sejam F e G os pontos de interse¸ c˜ ao da diagonal BD com os segmentos
M P e M N . Calcule a raz˜ ao entre a ´ area do triˆ angulo MF G e a ´ area do retˆ angulo ABCD.
2) Mostre que semelhan¸cas levam retas paralelas em retas paralelas.
3) Determine uma maneira de dizer quando duas elipses s˜ ao semelhantes.
Distˆ
ancias
4) Definir distˆ ancia como m´ınimo e mostrar que dessa defini¸ c˜ ao a consequˆ encia ´ e que distˆ ancia entre ponto e reta, ponto e plano, e duas retas reversas s˜ ao dadas por segmentos ortogonais.
5) Determine a altura do tetraedro regular em fun¸c˜ ao da aresta.
6) Mostre que a soma das distˆ ancias de um ponto interior a um triˆ angulo equil´ atero aos lados desse triˆ angulo ´ e uma constante.
Volumes e ´ areas 7) Usar o princ´ıpio de Cavalieri para achar ´ area da elipse, volume do elips´ oide e volume do parabol´ oide. Desigualdade isoperim´ etrica 8) Achar a rela¸ c˜ ao
4πS
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para o c´ırculo e pol´ıgonos regulares, sendo S a ´ area e p o per´ımetro.
9) Achar a maior porcentagem de ´ area ocupada por um c´ırculo inscrito em um triˆ angulo. Para que triˆ angulo ocorre esse m´ aximo? M´ aximos e m´ınimos
10) Encontrar a curva de tempo m´ınimo que liga dois pontos de alturas diferentes (braquistr´ ocrona). 11) Minimizar a segunda coordenada, y, dadas as restri¸ co ˜es x2 + 2xy + 3y 2 + 2x + 4y ≤ 0.
Para que valores de x e y o m´ınimo ´ e atingido? Que cˆ onica ´ e dada pela equa¸c˜ ao do segundo grau?
Programa¸
c˜ ao linear
12) Seja um fabricante de sof´ as, que produz os sof´ as A e B. Os dois sof´ as s˜ ao feitos com tecidos de brim e lona. O fabricante tem somente 240m2 de lona e 160m2 de brim. Um sof´ a do tipo A tem 6m2 de lona e 2m2 de brim, um do tipo B tem 4m2 de brim e 4m2 de lona.
O fabricante tem um lucro de 160 reais